Bài tập nâng cao · Bài 15
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 15
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{x}=2$.
b) $3\sqrt[3]{x}+\sqrt{x^2+8}=\sqrt{x^2+15}+2$.
a) $\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{x}=2$.
b) $3\sqrt[3]{x}+\sqrt{x^2+8}=\sqrt{x^2+15}+2$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện: $x \geq \frac{2}{3}$.
Nhẩm ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau:
Phương trình $\Leftrightarrow (\sqrt{3x-2}-1)+(\sqrt[3]{x}-1)=0$
$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3x-2}-1)(\sqrt{3x-2}+1)}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}=0$
$\Leftrightarrow (x-1)\left(\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}\right)=0 \ (1)$.
Vì $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1=\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$ nên $\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}>0$.
Do đó phương trình $(1) \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=1$.
b) Phương trình được viết lại như sau: $3\sqrt[3]{x}-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}$.
Vì $\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}>0$ nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn $3\sqrt[3]{x}-2>0$, hay $x>\frac{8}{27}$.
Phương trình tương đương với
$3\sqrt[3]{x}-3=\sqrt{x^2+15}-4+3-\sqrt{x^2+8}$
$\Leftrightarrow \frac{3(x-1)}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}=\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}-\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \ (2)$
$\Leftrightarrow (x-1)\left(\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}\right)=0$.
Vì $x>\frac{8}{27}$ suy ra $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}>0$ nên
$\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}>0$.
Do đó phương trình $(2) \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình $x=1$.
Nhẩm ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau:
Phương trình $\Leftrightarrow (\sqrt{3x-2}-1)+(\sqrt[3]{x}-1)=0$
$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3x-2}-1)(\sqrt{3x-2}+1)}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}=0$
$\Leftrightarrow (x-1)\left(\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}\right)=0 \ (1)$.
Vì $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1=\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$ nên $\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}>0$.
Do đó phương trình $(1) \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x=1$.
b) Phương trình được viết lại như sau: $3\sqrt[3]{x}-2=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}$.
Vì $\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}>0$ nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn $3\sqrt[3]{x}-2>0$, hay $x>\frac{8}{27}$.
Phương trình tương đương với
$3\sqrt[3]{x}-3=\sqrt{x^2+15}-4+3-\sqrt{x^2+8}$
$\Leftrightarrow \frac{3(x-1)}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}=\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}-\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3} \ (2)$
$\Leftrightarrow (x-1)\left(\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}\right)=0$.
Vì $x>\frac{8}{27}$ suy ra $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}>0$ nên
$\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}>0$.
Do đó phương trình $(2) \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1$.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình $x=1$.