Bài tập nâng cao · Bài 16
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 16
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$.
b) $3x^2+21x+18+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$.
a) $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$.
b) $3x^2+21x+18+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện $x \geq 1$.
Nhận xét $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}\cdot\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=1$.
Đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$, $t \geq 0$ thì phương trình có dạng $t+\frac{1}{t}=2 \Leftrightarrow t^2-2t+1=0 \Leftrightarrow t=1$.
Với $t=1$ ta có
$\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=1 \Leftrightarrow x-\sqrt{x^2-1}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}=x-1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})=0 \Leftrightarrow x=1$.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm phương trình là $x=1$.
b) Ta có $3x^2+21x+18+2\sqrt{x^2+7x+7}=2 \Leftrightarrow 3(x^2+7x+7)+2\sqrt{x^2+7x+7}=5$.
Đặt $t=\sqrt{x^2+7x+7}$, $t \geq 0$ thì phương trình có dạng
$3t^2+2t-5=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=-\frac{5}{3} \\ t=1\end{array}\right.$. Vì $t\geq0$ nên loại $t=-\frac{5}{3}$ và nhận $t=1$.
Với $t=1$ ta có $\sqrt{x^2+7x+7}=1 \Leftrightarrow x^2+7x+6=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-6 \\ x=-1\end{array}\right.$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-6$, $x=-1$.
Nhận xét $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}\cdot\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=1$.
Đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}$, $t \geq 0$ thì phương trình có dạng $t+\frac{1}{t}=2 \Leftrightarrow t^2-2t+1=0 \Leftrightarrow t=1$.
Với $t=1$ ta có
$\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=1 \Leftrightarrow x-\sqrt{x^2-1}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}=x-1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})=0 \Leftrightarrow x=1$.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm phương trình là $x=1$.
b) Ta có $3x^2+21x+18+2\sqrt{x^2+7x+7}=2 \Leftrightarrow 3(x^2+7x+7)+2\sqrt{x^2+7x+7}=5$.
Đặt $t=\sqrt{x^2+7x+7}$, $t \geq 0$ thì phương trình có dạng
$3t^2+2t-5=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=-\frac{5}{3} \\ t=1\end{array}\right.$. Vì $t\geq0$ nên loại $t=-\frac{5}{3}$ và nhận $t=1$.
Với $t=1$ ta có $\sqrt{x^2+7x+7}=1 \Leftrightarrow x^2+7x+6=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-6 \\ x=-1\end{array}\right.$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-6$, $x=-1$.