Giải các phương trình sau:
a) $x^2+\sqrt{x^2+11}=31$.
b) $(x+5)(2-x)=3\sqrt{x^2+3x}$.

Question

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}ight., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$ Giải các phương trình sau: a) $x^2+\sqrt{x^2+11}=31$. b) $(x+5)(2-x)=3\sqrt{x^2+3x}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Đặt $t=\sqrt{x^2+11}$, $t \geq 0$ thì phương trình có dạng $t^2+t-42=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=-7 \ t=6\end{array}ight.$. Vì $t\geq0$ nên loại $t=-7$ và nhận $t=6$. Với $t=6$ ta có $\sqrt{x^2+11}=6 \Leftrightarrow x^2+11=36 \Leftrightarrow x=\pm 5$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\pm 5$. b) Phương trình $\Leftrightarrow x^2+3x+3\sqrt{x^2+3x}-10=0$. Đặt $t=\sqrt{x^2+3x}$, $t \geq 0$ thì phương trình có dạng $t^2+3t-10=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=-5 \ t=2\end{array}ight.$. Vì $t\geq0$ nên loại $t=-5$ và nhận $t=2$. Với $t=2$ ta có $\sqrt{x^2+3x}=2 \Leftrightarrow x^2+3x-4=0 \Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=1$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=1$, $x=-4$.

Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 17