Bài tập nâng cao · Bài 18
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 18
Giải các phương trình sau:
a) $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$.
b) $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$.
a) $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$.
b) $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện: $x \geq -\frac{5}{4}$.
Đặt $t=\sqrt{4x+5}$, $t \geq 0$ thì $x=\frac{t^2-5}{4}$.
Khi đó phương trình trở thành
$2\cdot\frac{t^4-10t^2+25}{16}-\frac{6}{4}(t^2-5)-1=t$
$\Leftrightarrow t^4-22t^2-8t+77=0$
$\Leftrightarrow (t^2+2t-7)(t^2-2t-11)=0$.
Ta tìm được bốn nghiệm là $t_{1,2}=-1 \pm 2\sqrt{2}$, $t_{3,4}=1 \pm 2\sqrt{3}$.
Do $t \geq 0$ nên chỉ nhận các giá trị $t_1=-1+2\sqrt{2}$, $t_3=1+2\sqrt{3}$.
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình $x=1-\sqrt{2}$, $x=2+\sqrt{3}$.
b) Điều kiện $1 \leq x \leq 6$.
Đặt $t=\sqrt{x-1}$, $t \geq 0$ thì phương trình trở thành
$t^2+\sqrt{t+5}=5 \Leftrightarrow t^4-10t^2-t+20=0$
$\Leftrightarrow (t^2+t-4)(t^2-t-5)=0$.
Do $t \geq 0$, ta tìm được $t=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ hoặc $t=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$. Đối chiếu điều kiện $x \leq 6$, tương đương $t \leq \sqrt{5}$, chỉ nhận $t=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.
Từ đó ta tìm được $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.
Đặt $t=\sqrt{4x+5}$, $t \geq 0$ thì $x=\frac{t^2-5}{4}$.
Khi đó phương trình trở thành
$2\cdot\frac{t^4-10t^2+25}{16}-\frac{6}{4}(t^2-5)-1=t$
$\Leftrightarrow t^4-22t^2-8t+77=0$
$\Leftrightarrow (t^2+2t-7)(t^2-2t-11)=0$.
Ta tìm được bốn nghiệm là $t_{1,2}=-1 \pm 2\sqrt{2}$, $t_{3,4}=1 \pm 2\sqrt{3}$.
Do $t \geq 0$ nên chỉ nhận các giá trị $t_1=-1+2\sqrt{2}$, $t_3=1+2\sqrt{3}$.
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình $x=1-\sqrt{2}$, $x=2+\sqrt{3}$.
b) Điều kiện $1 \leq x \leq 6$.
Đặt $t=\sqrt{x-1}$, $t \geq 0$ thì phương trình trở thành
$t^2+\sqrt{t+5}=5 \Leftrightarrow t^4-10t^2-t+20=0$
$\Leftrightarrow (t^2+t-4)(t^2-t-5)=0$.
Do $t \geq 0$, ta tìm được $t=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ hoặc $t=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$. Đối chiếu điều kiện $x \leq 6$, tương đương $t \leq \sqrt{5}$, chỉ nhận $t=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.
Từ đó ta tìm được $x=\frac{11-\sqrt{17}}{2}$.