Bài tập nâng cao · Bài 19
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 19
Giải các phương trình:
a) $3\sqrt{x+3}=3x^2+4x-1$.
b) $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$.
a) $3\sqrt{x+3}=3x^2+4x-1$.
b) $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện $x\geq-3$. Viết phương trình dưới dạng
$-27(x+3)-3\sqrt{x+3}+3x^2+31x+80=0$.
Đặt $t=\sqrt{x+3}\geq0$, ta được phương trình bậc hai theo $t$ có $\Delta_t=(18x+93)^2$, nên $t=\dfrac{-3x-16}{9}$ hoặc $t=\dfrac{x+5}{3}$. Nhánh đầu vô nghiệm vì vế phải âm khi $x\geq-3$. Nhánh sau cho $\sqrt{x+3}=\dfrac{x+5}{3}\Leftrightarrow x^2+x-2=0$. Thử lại, ta được $x=1$ hoặc $x=-2$.
Cách tách trên có thể được hệ thống hóa như sau. Với $m\ne0$, viết phương trình thành
$m(x+3)-3\sqrt{x+3}+3x^2+(4-m)x-1-3m=0$.
Đặt $t=\sqrt{x+3}\geq0$, ta được
$mt^2-3t+3x^2+(4-m)x-1-3m=0$,
với $\Delta_t=-12mx^2-4m(4-m)x+12m^2+4m+9=f(x)$. Để $f(x)$ là bình phương của một nhị thức, cần $-12m>0$ và $\Delta'_f=0$. Vì $\Delta'_f=4m(m+27)(m^2+m+1)$, suy ra $m=-27$, đúng với cách tách đã dùng ở trên.
b) Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\geq1$. Phương trình trở thành $t^2-(x+3)t+3x=0$, hay $(t-x)(t-3)=0$. Nhánh $t=x$ vô lý; nhánh $t=3$ cho $x=\pm2\sqrt2$. Vậy nghiệm là $x=\pm2\sqrt2$.
$-27(x+3)-3\sqrt{x+3}+3x^2+31x+80=0$.
Đặt $t=\sqrt{x+3}\geq0$, ta được phương trình bậc hai theo $t$ có $\Delta_t=(18x+93)^2$, nên $t=\dfrac{-3x-16}{9}$ hoặc $t=\dfrac{x+5}{3}$. Nhánh đầu vô nghiệm vì vế phải âm khi $x\geq-3$. Nhánh sau cho $\sqrt{x+3}=\dfrac{x+5}{3}\Leftrightarrow x^2+x-2=0$. Thử lại, ta được $x=1$ hoặc $x=-2$.
Cách tách trên có thể được hệ thống hóa như sau. Với $m\ne0$, viết phương trình thành
$m(x+3)-3\sqrt{x+3}+3x^2+(4-m)x-1-3m=0$.
Đặt $t=\sqrt{x+3}\geq0$, ta được
$mt^2-3t+3x^2+(4-m)x-1-3m=0$,
với $\Delta_t=-12mx^2-4m(4-m)x+12m^2+4m+9=f(x)$. Để $f(x)$ là bình phương của một nhị thức, cần $-12m>0$ và $\Delta'_f=0$. Vì $\Delta'_f=4m(m+27)(m^2+m+1)$, suy ra $m=-27$, đúng với cách tách đã dùng ở trên.
b) Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\geq1$. Phương trình trở thành $t^2-(x+3)t+3x=0$, hay $(t-x)(t-3)=0$. Nhánh $t=x$ vô lý; nhánh $t=3$ cho $x=\pm2\sqrt2$. Vậy nghiệm là $x=\pm2\sqrt2$.