Bài tập nâng cao · Bài 20
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 20
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{60-24x-5x^2}=x^2+5x-10$.
b) $(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$.
a) $\sqrt{60-24x-5x^2}=x^2+5x-10$.
b) $(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện $60-24x-5x^2\geq0$. Đặt $t=\sqrt{60-24x-5x^2}\geq0$. Dùng phương trình ban đầu, ta biến đổi được $t^2+6t-x^2-6x=0$, nên $t=x$ hoặc $t=-x-6$.
Với $t=x$, ta có $x\geq0$ và $x^2+4x-10=0$, suy ra $x=-2+\sqrt{14}$. Với $t=-x-6$, ta có $x\leq-6$ và $x^2+6x-4=0$, suy ra $x=-3-\sqrt{13}$. Hai giá trị đều thỏa phương trình ban đầu.
b) Điều kiện $-x^2-8x+48\geq0$. Đặt $t=\sqrt{-x^2-8x+48}\geq0$. Phương trình trở thành $-\frac12t^2+(x+3)t-\frac12x^2-3x-4=0$, nên $t=x+2$ hoặc $t=x+4$.
Nhánh thứ nhất cho $x=-3+\sqrt{31}$; nhánh thứ hai cho $x=-4+4\sqrt2$. Đối chiếu điều kiện, cả hai đều là nghiệm.
Với $t=x$, ta có $x\geq0$ và $x^2+4x-10=0$, suy ra $x=-2+\sqrt{14}$. Với $t=-x-6$, ta có $x\leq-6$ và $x^2+6x-4=0$, suy ra $x=-3-\sqrt{13}$. Hai giá trị đều thỏa phương trình ban đầu.
b) Điều kiện $-x^2-8x+48\geq0$. Đặt $t=\sqrt{-x^2-8x+48}\geq0$. Phương trình trở thành $-\frac12t^2+(x+3)t-\frac12x^2-3x-4=0$, nên $t=x+2$ hoặc $t=x+4$.
Nhánh thứ nhất cho $x=-3+\sqrt{31}$; nhánh thứ hai cho $x=-4+4\sqrt2$. Đối chiếu điều kiện, cả hai đều là nghiệm.