Bài tập nâng cao · Bài 21
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 21
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$.
b) $\sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{x^3+x^2+2}=3$.
a) $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$.
b) $\sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{x^3+x^2+2}=3$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đặt $a=\sqrt{4x^2+5x+1}\geq0$, $b=\sqrt{x^2-x+1}\geq0$. Ta có $a-2b=9x-3$ và $a^2-4b^2=9x-3$, nên $(a-2b)(a+2b-1)=0$.
Nếu $a=2b$ thì từ phương trình ban đầu suy ra $x=\frac13$, và giá trị này thỏa mãn. Nếu $a+2b=1$ thì $a=1-2b<0$ vì $b\geq\frac{\sqrt3}{2}$, vô lý. Vậy nghiệm duy nhất là $x=\frac13$.
b) Điều kiện $x^3+x^2-1\geq0$. Đặt $u=\sqrt{x^3+x^2-1}\geq0$, $v=\sqrt{x^3+x^2+2}\geq0$. Khi đó $u+v=3$ và $v^2-u^2=3$, suy ra $v-u=1$, nên $u=1$, $v=2$. Do đó $x^3+x^2-2=0$, hay $(x-1)(x^2+2x+2)=0$. Vậy $x=1$.
Nếu $a=2b$ thì từ phương trình ban đầu suy ra $x=\frac13$, và giá trị này thỏa mãn. Nếu $a+2b=1$ thì $a=1-2b<0$ vì $b\geq\frac{\sqrt3}{2}$, vô lý. Vậy nghiệm duy nhất là $x=\frac13$.
b) Điều kiện $x^3+x^2-1\geq0$. Đặt $u=\sqrt{x^3+x^2-1}\geq0$, $v=\sqrt{x^3+x^2+2}\geq0$. Khi đó $u+v=3$ và $v^2-u^2=3$, suy ra $v-u=1$, nên $u=1$, $v=2$. Do đó $x^3+x^2-2=0$, hay $(x-1)(x^2+2x+2)=0$. Vậy $x=1$.