Bài tập nâng cao · Bài 22
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nâng lên lũy thừa, trị tuyệt đối hóa, sử dụng bất đẳng thức, đưa về phương trình tích, đặt ẩn phụ. Phương trình có dạng Đặt ẩn phụ $\sqrt{ax+b}, x, x^2, \ldots$ $t=\sqrt{ax+b}, t \geq 0$ $\sqrt{ax^2+bx+c}, ax^2+bx, \ldots$ $t=\sqrt{ax^2+bx+c}, t \geq 0$ $\sqrt[3]{ax+b}, ax+b, \ldots$ $t=\sqrt[3]{ax+b}$ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} \\ \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}\end{array}\right., f(x)+g(x)=C$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}$ $\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}, f(x)+\frac{A^2}{f(x)}$ $t=\sqrt{f(x)} \pm \frac{A}{\sqrt{f(x)}}$ $\sqrt[m]{f(x)}, \sqrt[n]{f(x)}$ $t=\sqrt[s]{f(x)}$ với $s$ là bội chung nhỏ nhất của $m$ và $n$
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 22
Giải các phương trình:
a) $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}\right]=2+\sqrt{1-x^2}$.
b) $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$.
a) $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}\right]=2+\sqrt{1-x^2}$.
b) $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện $-1\leq x\leq1$. Đặt $u=\sqrt{1+x}\geq0$, $v=\sqrt{1-x}\geq0$. Khi đó $u^2+v^2=2$, $1+uv=\frac12(u+v)^2$ và $u^3-v^3=(u-v)(2+uv)$. Thay vào phương trình và rút gọn được $u^2-v^2=\sqrt2$. Giải hệ
$\begin{cases}u^2+v^2=2\\u^2-v^2=\sqrt2\end{cases}$
cho $x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, thỏa điều kiện.
b) Điều kiện $x\geq1$. Đặt $a=\sqrt{x-1}\geq0$, $b=\sqrt{5+a}\geq\sqrt5$. Phương trình cho $a^2+b=5$, đồng thời $b^2-a=5$. Suy ra $(a+b)(b-a-1)=0$, nên $b=a+1$. Do đó $a^2+a-4=0$, lấy $a=\dfrac{-1+\sqrt{17}}2$. Vậy $x=a^2+1=\dfrac{11-\sqrt{17}}2$.
$\begin{cases}u^2+v^2=2\\u^2-v^2=\sqrt2\end{cases}$
cho $x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, thỏa điều kiện.
b) Điều kiện $x\geq1$. Đặt $a=\sqrt{x-1}\geq0$, $b=\sqrt{5+a}\geq\sqrt5$. Phương trình cho $a^2+b=5$, đồng thời $b^2-a=5$. Suy ra $(a+b)(b-a-1)=0$, nên $b=a+1$. Do đó $a^2+a-4=0$, lấy $a=\dfrac{-1+\sqrt{17}}2$. Vậy $x=a^2+1=\dfrac{11-\sqrt{17}}2$.