Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 23
Xét tính bị chặn của các dãy số sau
a) $u_n = \frac{1}{2n^{2}-1}$.
b) $u_n = 3.\cos\frac{nx}{3}$.
c) $u_n = 2n^{3}+1$.
d) $u_n = \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+n+1}$.
e) $u_n = n+\frac{1}{n}$.
a) $u_n = \frac{1}{2n^{2}-1}$.
b) $u_n = 3.\cos\frac{nx}{3}$.
c) $u_n = 2n^{3}+1$.
d) $u_n = \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+n+1}$.
e) $u_n = n+\frac{1}{n}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $u_n = \frac{1}{2n^{2}-1}$ Có $2n^{2}-1\geq 1\Rightarrow u_n = \frac{1}{2n^{2}-1}\leq 1, \forall n\geq 1$. Vậy dãy số bị chặn trên bởi $1$.
b) $u_n = 3.\cos\frac{nx}{3}$ có $-1\leq \cos\frac{nx}{3}\leq 1\Rightarrow -3\leq 3.\cos\frac{nx}{3}\leq 3$.
Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $-3$; chặn trên bởi $3$.
c) $u_n = 2n^{3}+1$ có $2n^{3}+1\geq 3, \forall n\geq 1$. Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $3$.
d) $u_n = \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+n+1}$ có $u_n = \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+n+1} = 1+\frac{n-1}{n^{2}+n+1}\geq 1$, $\forall n\geq 1$.
Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $1$.
e) $u_n = n+\frac{1}{n}$ có $u_n = n+\frac{1}{n}\geq 2\sqrt{n.\frac{1}{n}} = 2$, $\forall n>0$. Vậy dãy số bị chặn bởi $2$.
b) $u_n = 3.\cos\frac{nx}{3}$ có $-1\leq \cos\frac{nx}{3}\leq 1\Rightarrow -3\leq 3.\cos\frac{nx}{3}\leq 3$.
Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $-3$; chặn trên bởi $3$.
c) $u_n = 2n^{3}+1$ có $2n^{3}+1\geq 3, \forall n\geq 1$. Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $3$.
d) $u_n = \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+n+1}$ có $u_n = \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+n+1} = 1+\frac{n-1}{n^{2}+n+1}\geq 1$, $\forall n\geq 1$.
Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $1$.
e) $u_n = n+\frac{1}{n}$ có $u_n = n+\frac{1}{n}\geq 2\sqrt{n.\frac{1}{n}} = 2$, $\forall n>0$. Vậy dãy số bị chặn bởi $2$.