Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 24
Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: $u_n = \frac{2n-1}{n+3};n\in N*$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $u_{n+1}-u_n = \frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3} = \frac{2n^{2}+7n+3-2n^{2}-7n+4}{\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)} = \frac{7}{\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}>0; \forall n\in N*$
Vậy: $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
Ta có $u_n = \frac{2n-1}{n+3} = \frac{2(n+3)-7}{n+3} = 2-\frac{7}{n+3}$, suy ra:
$\forall n\in \mathbb{N}*,u_n<2$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên. Vì $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng$\forall n\in \mathbb{N}*,u_1 = \frac{1}{4}\leq u_n$ Nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới. Vậy $\left( u_n \right)$ bị chặn.
Vậy: $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
Ta có $u_n = \frac{2n-1}{n+3} = \frac{2(n+3)-7}{n+3} = 2-\frac{7}{n+3}$, suy ra:
$\forall n\in \mathbb{N}*,u_n<2$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên. Vì $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng$\forall n\in \mathbb{N}*,u_1 = \frac{1}{4}\leq u_n$ Nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới. Vậy $\left( u_n \right)$ bị chặn.