Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 25
Cho dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = 1+\left( n-1 \right).2^{n}$
a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b). Tìm công thức truy hồi.
c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới.
a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b). Tìm công thức truy hồi.
c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới.
Xem lời giải
Lời giải
a).Ta có:
$u_1 = 1+\left( 1-1 \right).2^{1} = 1$
$u_2 = 1+\left( 2-1 \right).2^{2} = 5$
$u_3 = 1+\left( 3-1 \right).2^{3} = 17$
$u_4 = 1+\left( 4-1 \right).2^{4} = 49$
$u_5 = 1+\left( 5-1 \right).2^{5} = 129$
b). Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n = 1+n.2^{n+1}-\left( 1+\left( n-1 \right).2^{n} \right)$
$= 2n.2^{n}-\left( n-1 \right).2^{n} = \left( 2n-n+1 \right).2^{n} = \left( n+1 \right).2^{n}$ $\Rightarrow u_{n+1} = u_n+\left( n+1 \right)2^{n}.$
Vậy công thức truy hồi:$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n+\left( n+1 \right).2^{n} \end{array} \right. \forall n\geq 1.$
c). Ta có:$u_{n+1}-u_n = \left( n+1 \right).2^{n}>0 \forall n\geq 1.$ Từ đó suy ra dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
Ta có: $u_n = 1+\left( n-1 \right).2^{n}\geq 1 \forall n\geq 1.$ Kết luận $\left( u_n \right)$ là dãy số bị chặn dưới.
$u_1 = 1+\left( 1-1 \right).2^{1} = 1$
$u_2 = 1+\left( 2-1 \right).2^{2} = 5$
$u_3 = 1+\left( 3-1 \right).2^{3} = 17$
$u_4 = 1+\left( 4-1 \right).2^{4} = 49$
$u_5 = 1+\left( 5-1 \right).2^{5} = 129$
b). Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n = 1+n.2^{n+1}-\left( 1+\left( n-1 \right).2^{n} \right)$
$= 2n.2^{n}-\left( n-1 \right).2^{n} = \left( 2n-n+1 \right).2^{n} = \left( n+1 \right).2^{n}$ $\Rightarrow u_{n+1} = u_n+\left( n+1 \right)2^{n}.$
Vậy công thức truy hồi:$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n+\left( n+1 \right).2^{n} \end{array} \right. \forall n\geq 1.$
c). Ta có:$u_{n+1}-u_n = \left( n+1 \right).2^{n}>0 \forall n\geq 1.$ Từ đó suy ra dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
Ta có: $u_n = 1+\left( n-1 \right).2^{n}\geq 1 \forall n\geq 1.$ Kết luận $\left( u_n \right)$ là dãy số bị chặn dưới.