Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 26
Cho dãy số $\left( u_n \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=\frac{u_n^{2}}{2u_n-1}, n\geq 1, n\in \mathbb{N} \end{array} \right.$
1) Chứng minh rằng dãy số $\left( u_n \right)$ giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left( u_n \right)$.
1) Chứng minh rằng dãy số $\left( u_n \right)$ giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left( u_n \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
1) Ta có $u_1=2; u_2=\frac{4}{3}>1$.
Giả sử $u_k>1, k\geq 2$ (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh $u_{k+1}>1 \left( * \right)$
Theo công thức truy hồi $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \frac{u_k^{2}}{2u_k-1}>1\Leftrightarrow u_k^{2}>2u_k-1$ vì ($2u_k-1>0$)
$\Leftrightarrow u_k^{2}-2u_k+1>0\Leftrightarrow \left( u_k-1 \right)^{2}>0$ đúng (vì $u_k>1$)
Vậy $u_n>1, \forall n\in \mathbb{N}*$, suy ra $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
+) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^{2}}{2u_n-1}-u_n=\frac{u_n\left( 1-u_n \right)}{2u_n-1}<0$ (vì $u_k>1$) $\Rightarrow \left( u_n \right)$ giảm
$\Rightarrow 2=u_1>u_2>u_3>\ldots>\ldots$ $\Rightarrow \left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ giảm và bị chặn.
2) Từ $u_{n+1}=\frac{u_n^{2}}{2u_n-1}\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2}{u_n}-\frac{1}{u_n^{2}}=-\left( \frac{1}{u_n^{2}}-\frac{2}{u_n}+1 \right)$ $=-\left( \frac{1}{u_n}-1 \right)^{2}$.
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}-1$ $\Rightarrow v_1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ và $v_{n+1}=-v_n^{2}$.
Từ đó suy ra $v_1=-2^{-1}; v_2=-2^{-2}; v_3=-2^{-4}; v_4=-2^{-8}$.
Giả sử $v_n=-2^{-2^{n-1}}$, $n\geq 4$ (giả thiết quy nạp).
$\Rightarrow v_{n+1}=-\left( 2^{-2^{n-1}} \right)^{2}=-2^{-2^{n}}$. Do đó $v_n=-2^{-2^{n-1}}, \forall n$
Mà $v_n=\frac{1}{u_n}-1\Rightarrow u_n=\frac{1}{1+v_n}=\frac{1}{1-2^{-2^{n-1}}}=\frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^{n-1}}-1}$.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số $\left( u_n \right)$ là $u_n=\frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^{n-1}}-1}$.
Giả sử $u_k>1, k\geq 2$ (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh $u_{k+1}>1 \left( * \right)$
Theo công thức truy hồi $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \frac{u_k^{2}}{2u_k-1}>1\Leftrightarrow u_k^{2}>2u_k-1$ vì ($2u_k-1>0$)
$\Leftrightarrow u_k^{2}-2u_k+1>0\Leftrightarrow \left( u_k-1 \right)^{2}>0$ đúng (vì $u_k>1$)
Vậy $u_n>1, \forall n\in \mathbb{N}*$, suy ra $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
+) Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^{2}}{2u_n-1}-u_n=\frac{u_n\left( 1-u_n \right)}{2u_n-1}<0$ (vì $u_k>1$) $\Rightarrow \left( u_n \right)$ giảm
$\Rightarrow 2=u_1>u_2>u_3>\ldots>\ldots$ $\Rightarrow \left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ giảm và bị chặn.
2) Từ $u_{n+1}=\frac{u_n^{2}}{2u_n-1}\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2}{u_n}-\frac{1}{u_n^{2}}=-\left( \frac{1}{u_n^{2}}-\frac{2}{u_n}+1 \right)$ $=-\left( \frac{1}{u_n}-1 \right)^{2}$.
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}-1$ $\Rightarrow v_1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ và $v_{n+1}=-v_n^{2}$.
Từ đó suy ra $v_1=-2^{-1}; v_2=-2^{-2}; v_3=-2^{-4}; v_4=-2^{-8}$.
Giả sử $v_n=-2^{-2^{n-1}}$, $n\geq 4$ (giả thiết quy nạp).
$\Rightarrow v_{n+1}=-\left( 2^{-2^{n-1}} \right)^{2}=-2^{-2^{n}}$. Do đó $v_n=-2^{-2^{n-1}}, \forall n$
Mà $v_n=\frac{1}{u_n}-1\Rightarrow u_n=\frac{1}{1+v_n}=\frac{1}{1-2^{-2^{n-1}}}=\frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^{n-1}}-1}$.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số $\left( u_n \right)$ là $u_n=\frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^{n-1}}-1}$.