Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là một điểm di động trên $SC$, $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $AM$ và song song với $BD$. Tìm giao điểm $H$ và $K$ của $\left( \alpha \right)$ với $SB,SD$. Chứng minh rằng $\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}$ có giá trị không đổi.

Question

DẠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Định lí Ta-let trong không gian Ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỷ lệ. [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image682.png] $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha ight)\parallel\left( \beta ight)\parallel\left( \gamma ight) \ d_1\cap\left( \alpha ight)=A_1,\,d_1\cap\left( \beta ight)=B_1,\,d_1\cap\left( \gamma ight)=C_1 \ d_2\cap\left( \alpha ight)=A_2,\,d_2\cap\left( \beta ight)=B_2,\,d_2\cap\left( \gamma ight)=C_2 \end{array} ight.\Rightarrow \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Định lí đảo của định lí Thales trong không gian. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau và các điểm $A_1,B_1,C_1\in d_1$ và $A_2,B_2,C_2\in d_2$ sao cho $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Khi đó các đường thẳng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là một điểm di động trên $SC$, $\left( \alpha ight)$ là mặt phẳng qua $AM$ và song song với $BD$. Tìm giao điểm $H$ và $K$ của $\left( \alpha ight)$ với $SB,SD$. Chứng minh rằng $\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}$ có giá trị không đổi.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image713.png] Giả sử $AM$ cắt $SO$ tại $I$. $\left( \alpha \right)$ qua $AM$ và song song với $BD$, nên $\left( \alpha \right)$ cắt mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo giao tuyến $HK$ qua $I$ và $HK\parallel BD$ ($H$ trên $SB$ và $K$ trên $SD$). Ta có: $\frac{SB}{SH}=\frac{SD}{SK}=\frac{SO}{SI}\Rightarrow \frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}=\frac{2SO}{SI}$. Dựng $OL\parallel AM$, ta có $L$ là trung điểm $CM$ (vì O là trung điểm của $AC$) $\Rightarrow LM=LC$. Ta có: $\frac{SO}{SI}=\frac{SL}{SM}=\frac{SC-LC}{SM}=\frac{SC}{SM}-\frac{LC}{SM}$. $\Rightarrow \frac{SO}{SI}=\frac{SC}{SM}-\frac{ML}{SM}$ ( thay $LC=ML$) Mà $\frac{ML}{MS}=\frac{OI}{SI}\Rightarrow \frac{SO}{SI}=\frac{SL}{SM}=\frac{SC}{SM}-\frac{IO}{SI}\Rightarrow \frac{SO}{SI}=\frac{SC}{SM}-\frac{SO-SI}{SI}\Rightarrow \frac{2SO}{SI}-\frac{SC}{SM}=1$ Vậy ta có: $\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}=2\frac{SO}{SI}-\frac{SC}{SM}=1$.

Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 27