Bài tự luận · Bài 3
Dạng 1. Tính số các hoán vị
Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 3
(CD10) Từ các chữ số $ 0,1,2,3,4,5,6,7 $, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Xét số tự nhiên có dạng $ a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } $.
Trường hợp 1: $ a_{ 1 } $ có thể bằng 0 hoặc khác 0.
Với $ a_{ 1 } $ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 8 chữ số đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là: $ P_{ 8 } =8!=40320 $.
Trường hợp 2: $ a_{ 1 } =0 $.
Vì $ a_{ 1 } =0 $ cố định nên 7 chữ số sau $ a_{ 1 } $ đều khác 0 và chỉ có 7 chữ số đó thay đổi. Suy ra, mỗi số có dạng $ 0a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } $ là một hoán vị của 7 chữ số khác 0 đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là: $ P_{ 7 } =7!=5040 $.
Vậy số các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là: $ 40320-5040=35280{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Trường hợp 1: $ a_{ 1 } $ có thể bằng 0 hoặc khác 0.
Với $ a_{ 1 } $ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 8 chữ số đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là: $ P_{ 8 } =8!=40320 $.
Trường hợp 2: $ a_{ 1 } =0 $.
Vì $ a_{ 1 } =0 $ cố định nên 7 chữ số sau $ a_{ 1 } $ đều khác 0 và chỉ có 7 chữ số đó thay đổi. Suy ra, mỗi số có dạng $ 0a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } $ là một hoán vị của 7 chữ số khác 0 đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là: $ P_{ 7 } =7!=5040 $.
Vậy số các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là: $ 40320-5040=35280{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $