Giải PT sau: $ 1+\cot2x=\frac{1-\cos2x}{\sin^{2}2x} $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải PT sau: $ 1+\cot2x=\frac{1-\cos2x}{\sin^{2}2x} $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Điều kiện: $ \sin2x
eq 0\Leftrightarrow \cos2x
eq\pm1 $ Ta có: $ \begin{array}{l} 1+\cot2x=\frac{1-\cos2x}{\sin^{2}2x} \ \Leftrightarrow \sin^{2}2x+\sin^{2}2x.\frac{\cos2x}{\sin2x}=1-\cos2x \ \Leftrightarrow \sin^{2}2x+\sin2x\cos2x=1-\cos2x \ \Leftrightarrow \sin2x\cos2x=\cos^{2}2x-\cos2x \ \Leftrightarrow \cos2x\left( \cos2x-\sin2x-1 ight)=0 \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos2x=0 \ \cos2x-\sin2x-1=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \sqrt{2}\cos\left( 2x+\frac{\pi}{4} ight)=1 \end{array} ight. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 24