Giải các PT sau: a) $ an x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight) $ b) $ 3-4\sin^{2}x=4\cot x\cos^{2}x-3\cot x $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha ight)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} ight)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} ight)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} ight)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} ight)$ Giải các PT sau: a) $ 	an x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight) $ b) $ 3-4\sin^{2}x=4\cot x\cos^{2}x-3\cot x $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $ 	an x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight)\left( 1 ight) $ DK: $ \sin x
eq 0;\cos x
eq 0 $ $ \begin{array}{l} \left( 1 ight)\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-3\frac{\cos x}{\sin x}=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight) \ \Leftrightarrow \sin^{2}x-3\cos^{2}x=4\sin x\cos x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight) \ \Leftrightarrow \left( \sin x-\sqrt{3}\cos x ight)\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight)=4\sin x\cos x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight) \ \Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight)\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-4\sin x\cos x ight)=0 \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-4\sin x\cos x ight)=0 \ \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x ight)=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin2x \ \sin\left( \frac{\pi}{3}+x ight)=0 \end{array} ight. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\left( x-\frac{\pi}{3} ight)=\sin2x \ \frac{\pi}{3}+x=k\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \ x=\frac{4\pi}{9}+\frac{k2\pi}{3} \ x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{4\pi}{9}+\frac{k2\pi}{3} \ x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $ b) $ 3-4\sin^{2}x=4\cot x\cos^{2}x-3\cot x\left( 2 ight) $ DK: $ \sin x
eq 0 $ $ \begin{array}{l} \left( 2 ight)\Leftrightarrow 3-4\sin^{2}x=4\frac{\cos x}{\sin x}\cos^{2}x-3\frac{\cos x}{\sin x} \ \Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^{3}x=4\cos^{3}x-3\cos x \ \Leftrightarrow 3\left( \sin x+\cos x ight)-4\left( \sin^{3}x+\cos^{3}x ight)=0 \ \Leftrightarrow 3\left( \sin x+\cos x ight)-4\left( \sin x+\cos x ight)\left( \sin^{2}x-\sin x\cos x+\cos^{2}x ight)=0 \ \Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x ight)\left( 3-4+4\sin x\cos x ight)=0 \ \Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x ight)\left( -1+2\sin2x ight)=0 \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x+\cos x=0 \ -1+2\sin2x=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} ight)=0 \ \sin2x=\frac{1}{2} \end{array} ight. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+\frac{\pi}{4}=k\pi \ 2x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \ 2x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \ x=\frac{\pi}{12}+k\pi \ x=\frac{5\pi}{12}+k\pi \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 23