Giải các phương trình sau:
a) $ 2\left( \sin^{4}x+\cos^{4}x \right)+\sqrt{3}\sin4x=2 $
b) $ \sin^{4}x+\cos^{4}\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{4} $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải các phương trình sau: a) $ 2\left( \sin^{4}x+\cos^{4}x \right)+\sqrt{3}\sin4x=2 $ b) $ \sin^{4}x+\cos^{4}\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{4} $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $ \begin{array}{l} 2\left( \sin^{4}x+\cos^{4}x ight)+\sqrt{3}\sin4x=2 \ \Leftrightarrow 2\left[ \left( \sin^{2}x+\cos^{2}x ight)^{2}-2\sin^{2}x\cos^{2}x ight]+2\sqrt{3}\sin2x\cos2x=2 \ \Leftrightarrow 1-\frac{\sin^{2}2x}{2}+\sqrt{3}\sin2x\cos2x=1 \ \Leftrightarrow -\frac{\sin^{2}2x}{2}+\sqrt{3}\sin2x\cos2x=0 \ \Leftrightarrow \sin2x\left( -\frac{\sin2x}{2}+\sqrt{3}\cos2x ight)=0 \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin2x=0 \ -\frac{\sin2x}{2}+\sqrt{3}\cos2x=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{k\pi}{2} \ -\sin2x+2\sqrt{3}\cos2x=0 \end{array} ight. $ $ -\sin2x+2\sqrt{3}\cos2x=0 $ $ \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{13}}\sin2x-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\cos2x=0\left( * ight) $ cho $ \frac{1}{\sqrt{13}}=\cos t;\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\sin t $ $ \begin{array}{l} \left( * ight)\Leftrightarrow \cos t\sin2x-\sin t\cos2x=0 \ \Leftrightarrow \sin\left( 2x-t ight)=0 \ \Leftrightarrow 2x-t=k\pi\Leftrightarrow x=\frac{t}{2}+k\frac{\pi}{2} \end{array} $ b) $ \begin{array}{l} \sin^{4}x+\cos^{4}\left( x+\frac{\pi}{4} ight)=\frac{1}{4} \ \Leftrightarrow \left( \frac{1-\cos2x}{2} ight)^{2}+\frac{1}{4}\left( \cos x-\sin x ight)^{4}=\frac{1}{4} \ \Leftrightarrow \frac{1-2\cos2x+\cos^{2}2x}{4}+\frac{1}{4}\left( 1-2\cos x\sin x ight)^{2}=\frac{1}{4} \ \Leftrightarrow 1-2\cos2x+\cos^{2}2x+1-2\sin2x+\sin^{2}2x=1 \ \Leftrightarrow 2-2\cos2x-2\sin2x=0 \ \Leftrightarrow 1=\cos2x+\sin2x \ \Leftrightarrow 1=\sqrt{2}\sin\left( 2x+\frac{\pi}{4} ight) \ \Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{4}=\sin\left( 2x+\frac{\pi}{4} ight) \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k2\pi \ 2x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 22