Giải các phương trình sau:
a) $ \cos7x-\sin5x=\sqrt{3}\left( \cos5x-\sin7x \right) $
b) $ 8\sin x=\frac{1}{\sin x}+\frac{\sqrt{3}}{\cos x} $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải các phương trình sau: a) $ \cos7x-\sin5x=\sqrt{3}\left( \cos5x-\sin7x \right) $ b) $ 8\sin x=\frac{1}{\sin x}+\frac{\sqrt{3}}{\cos x} $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $ \begin{array}{l} \cos7x-\sin5x=\sqrt{3}\left( \cos5x-\sin7x ight) \ \Leftrightarrow \cos7x+\sqrt{3}\sin7x=\sqrt{3}\cos5x+\sin5x \ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos7x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin7x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos5x+\frac{1}{2}\sin5x \ \Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{6}\cos7x+\cos\frac{\pi}{6}\sin7x=\sin\frac{\pi}{3}\cos5x+\cos\frac{\pi}{3}\sin5x \ \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{6}+7x ight)=\sin\left( \frac{\pi}{3}+5x ight) \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi}{6}+7x=\frac{\pi}{3}+5x+k2\pi \ \frac{\pi}{6}+7x=\pi-\frac{\pi}{3}-5x+k2\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k\pi \ x=\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{6} \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $ b) $ 8\sin x=\frac{1}{\sin x}+\frac{\sqrt{3}}{\cos x}\left( 1 ight) $ $ \sin x
eq 0;\cos x
eq 0 $ $ \begin{array}{l} \left( 1 ight)\Leftrightarrow 8\sin^{2}x\cos x=\cos x+\sqrt{3}\sin x \ \Leftrightarrow 8\sin^{2}x=1+\sqrt{3}	an x \ \Leftrightarrow 8\sin^{2}x=1+\sqrt{3}\frac{1}{\cot x} \ \Leftrightarrow 8\frac{1}{\cot^{2}x+1}=1+\sqrt{3}\frac{1}{\cot x} \ \Leftrightarrow 8\cot x=\left( \cot^{2}x+1 ight)\cot x+\sqrt{3}\left( \cot^{2}x+1 ight) \ \Leftrightarrow \cot^{3}x+\sqrt{3}\cot^{2}x-7\cot x+\sqrt{3}=0 \ \Leftrightarrow \left( \cot x-\sqrt{3} ight)\left( \cot^{2}x+2\sqrt{3}\cot x-1 ight)=0 \end{array} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cot x=\sqrt{3} \ \cot x=-\sqrt{3}+2 \ \cot x=-\sqrt{3}-2 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k\pi \ x=\operatorname{arccot}\left( -\sqrt{3}+2 ight)+k\pi \ x=\operatorname{arccot}\left( -\sqrt{3}-2 ight)+k\pi \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 21