Giải các phương trình sau: $ \sin4x-\cos4x=1+4\sqrt{2}\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right) $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải các phương trình sau: $ \sin4x-\cos4x=1+4\sqrt{2}\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right) $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $ \sin4x-\cos4x=1+4\sqrt{2}\sin\left( x-\frac{\pi}{4} ight) $ $ \Leftrightarrow \cos4x+\left( 1-\sin4x ight)+4\left( \sin x-\cos x ight)=0 $ $ \Leftrightarrow \left( \cos^{2}2x-\sin^{2}2x ight)+\left( \cos2x-\sin2x ight)^{2}-4\left( \cos x-\sin x ight)=0 $ $ \Leftrightarrow 2\cos2x\left( \cos2x-\sin2x ight)-4\left( \cos x-\sin x ight)=0 $ $ \Leftrightarrow 2\left( \cos x-\sin x ight)\left( \cos x+\sin x ight)\left( \cos2x-\sin2x ight)-4\left( \cos x-\sin x ight)=0 $ $ \Leftrightarrow 4\sqrt{2}\cos\left( x+\frac{\pi}{4} ight)\cos\left( x-\frac{\pi}{4} ight)\cos\left( 2x+\frac{\pi}{4} ight)-4\sqrt{2}\cos\left( x+\frac{\pi}{4} ight)=0 $ $ \Leftrightarrow 4\sqrt{2}\cos\left( x+\frac{\pi}{4} ight)\left[ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{4} ight)\cos\left( x-\frac{\pi}{4} ight)-1 ight]=0 $ $ \Leftrightarrow 2\sqrt{2}\cos\left( x+\frac{\pi}{4} ight)\left[ \cos\left( x+\frac{\pi}{2} ight)+\cos3x-2 ight]=0 $ a) $ \cos\left( x+\frac{\pi}{4} ight)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi $ $ \left( k\in\mathbb{Z} ight) $ b) $ \left\{ \begin{array}{l} \cos\left( x+\frac{\pi}{2} ight)=1 \ \cos3x=1 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \ \cos\left( -\frac{3\pi}{2}+k6\pi ight)=1 \end{array} ight. $ vô nghiệm. Vậy họ nghiệm của phương trình là $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi\left( k\in\mathbb{Z} ight) $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 20