Giải các phương trình sau: $ 4\left( \sin^{4}x+\cos^{4}x \right)+\sqrt{3}\sin4x=2 $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải các phương trình sau: $ 4\left( \sin^{4}x+\cos^{4}x \right)+\sqrt{3}\sin4x=2 $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $ 4\left( \sin^{4}x+\cos^{4}x ight)+\sqrt{3}\sin4x=2 $ $ 4\left( 1-2\sin^{2}x.\cos^{2}x ight)+\sqrt{3}\sin4x=2 $ $ \Leftrightarrow -8\sin^{2}x.\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin4x=-2 $ $ \Leftrightarrow -2\sin^{2}2x+\sqrt{3}\sin4x=-2 $ $ \Leftrightarrow \cos4x+\sqrt{3}\sin4x=-1\Leftrightarrow \cos\left( 4x-\frac{\pi}{3} ight)=\cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi \ 4x-\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} \ x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2} \end{array} ight.\left( k\in\mathbb{Z} ight) $ Vậy họ nghiệm của phương trình là $ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} $, $ x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}\left( k\in\mathbb{Z} ight) $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 19