Giải các phương trình sau: $ \sin\frac{x}{2}\sin x-\cos\frac{x}{2}\sin^{2}x+1=2\cos^{2}\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ Giải các phương trình sau: $ \sin\frac{x}{2}\sin x-\cos\frac{x}{2}\sin^{2}x+1=2\cos^{2}\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} \right) $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $ \sin\frac{x}{2}\sin x-\cos\frac{x}{2}\sin^{2}x+1=2\cos^{2}\left( \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} ight) $ $ \Leftrightarrow \sin x\left( \sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}.\sin x-1 ight)=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \ \sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}.\sin x-1=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi \ x=\pi+k4\pi \end{array} ight.\Leftrightarrow x=k\pi\left( k\in\mathbb{Z} ight) $.

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 18