Bài tập nâng cao · Bài 16
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 16
Xem lời giải
Lời giải
$ \Leftrightarrow \left[ \left( \cos x-\sin x \right)\left( \cos x+\sin x \right) \right]^{2}+2\left( \sin x+\cos x \right)^{3}-3\left( \sin x+\cos x \right)^{2}=0 $
$ \Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)^{2}\left[ \left( \cos x-\sin x \right)^{2}+2\left( \sin x+\cos x \right)-3 \right]=0 $
$ \Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)^{2}\left( 2\sin x+2\cos x-2\sin x.\cos x-2 \right)=0 $
$ \Leftrightarrow -\left( \sin x+\cos x \right)^{2}\left( \cos^{2}x+\sin^{2}x+1-2\sin x-2\cos x+2\sin x.\cos x \right)=0 $
$ \Leftrightarrow -\left( \sin x+\cos x \right)^{2}\left( \sin x+\cos x-1 \right)^{2}=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x+\cos x=0 \\ \sin x+\cos x=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=0 \\ \cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{3\pi}{4}+k\pi \\ x=k2\pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{array} \right.\left( k\in\mathbb{Z} \right) $