Bài tập nâng cao · Bài 15
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 15
a) $ \sin x\left( \cos x+2\sin x \right)+1=\cos^{2}x-2 $
b) $ \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\cos x+\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\sin x=\frac{1}{2} $
Xem lời giải
Lời giải
$ \Leftrightarrow \frac{\sin2x}{2}+\frac{3}{2}\left( 1-\cos2x \right)+2=0 $ $ \Leftrightarrow \sin2x-3\cos2x+7=0 $ $ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
b) $ \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\cos x+\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\sin x=\frac{1}{2} $
Ta có: $ \left( \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \right)^{2}+\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \right)^{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{8}+\frac{4-2\sqrt{3}}{8}=1 $ nên đặt $ \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\cos\alpha $, $ \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sin\alpha $
Phương trình trở thành $ \cos\left( \alpha-x \right)=\cos\frac{\pi}{3}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha-x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ \alpha-x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\alpha-\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ x=\alpha+\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right. $.