Giải các phương trình sau:
a) $ \sqrt{3}\tan x-6\cot x+2\sqrt{3}-3=0 $
b) $ \frac{1-\sin 2x}{2\sin x}=\sin x $

Question

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Nhận dạng: $a.\sin x+b\cos x=c$ $a.\cos x+b\sin x=c$ Điều kiện có nghiệm: $a^{2} +b^{2} \geq c^{2}$ Cách làm: $a\sin x+b\cos x=c\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Đặt $\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\cos \alpha$; $\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\sin \alpha$ Khi đó: $\sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha ight)=\frac{c}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$ Cần chú ý các công thức: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} ight)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi}{4} ight)$ $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} ight)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi}{4} ight)$ Giải các phương trình sau: a) $ \sqrt{3}	an x-6\cot x+2\sqrt{3}-3=0 $ b) $ \frac{1-\sin 2x}{2\sin x}=\sin x $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Điều kiện $ \sin 2x
eq 0 $ $ \sqrt{3}	an x-6\cot x+2\sqrt{3}-3=0 $ $ \Leftrightarrow \sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x}-6\frac{\cos x}{\sin x}+2\sqrt{3}-3=0 $ $ \Leftrightarrow \sqrt{3}\sin^{2}x-6\cos^{2}x+\left( 2\sqrt{3}-3 ight)\sin x.\cos x=0 $ $ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1-\cos 2x ight)-3\left( 1+\cos 2x ight)+\frac{2\sqrt{3}-3}{2}\sin 2x=0 $ $ \Leftrightarrow \sqrt{3}-\sqrt{3}\cos 2x-6-6\cos 2x+\left( 2\sqrt{3}-3 ight)\sin 2x=0 $ $ \sqrt{3}-6-\left( \sqrt{3}+6 ight)\cos 2x+\left( 2\sqrt{3}-3 ight)\sin 2x=0 $ Có $ \left( \sqrt{3}+6 ight)^{2}+\left( 2\sqrt{3}-3 ight)^{2}=60 $ $ \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{60}}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}+6}{\sqrt{60}}\cos 2x=\frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{60}} $. Đặt $ \frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{60}}=\cos\alpha $, $ \frac{\sqrt{3}+6}{\sqrt{60}}=\sin\alpha $, $ \frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{60}}=\sin\beta $ $ \Rightarrow \cos\alpha \sin 2x-\sin\alpha \cos 2x=\sin\beta $ $ \Rightarrow \sin\left( 2x-\alpha ight)=\sin\beta \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\alpha =\beta +k2\pi \ 2x-\alpha =\pi -\beta +k2\pi \end{array} ight.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\alpha +\beta}{2}+k\pi \ x=\frac{\pi +\alpha -\beta}{2}+k\pi \end{array} ight. $ b) Điều kiện $ \sin x
eq 0 $ $ \frac{1-\sin 2x}{2\sin x}=\sin x $ $ \Leftrightarrow 1-\sin 2x=2\sin^{2}x\Leftrightarrow 1-\sin 2x=1-\cos 2x $ $ \Leftrightarrow \sin 2x-\cos 2x=0\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( 2x-\frac{\pi}{4} ight)=0\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi}{4}=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} $

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 13