Bài tự luận · Bài 18
Dạng 2. Xác định một số yếu tố cơ bản của ba đường conic
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 18
(KNTT10) Cho elip $(E):\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$.
a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm, tiêu cự của $(E)$.
b) Cho điểm $M$ bất kì thuộc $(E)$. Tính $MF_1+MF_2$.
c) Cho điểm $M$ thuộc $(E)$ sao cho $M$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Tính đoạn $OM$, trong đó $O$ là gốc toạ độ, từ đó hãy tìm toạ độ điểm $M$.
a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm, tiêu cự của $(E)$.
b) Cho điểm $M$ bất kì thuộc $(E)$. Tính $MF_1+MF_2$.
c) Cho điểm $M$ thuộc $(E)$ sao cho $M$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Tính đoạn $OM$, trong đó $O$ là gốc toạ độ, từ đó hãy tìm toạ độ điểm $M$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Trong phương trình chính tắc của $(E)$ ta có $a^2=25,b^2=9\Rightarrow a=5,b=3,c=\sqrt{a^2-b^2}=4$.
Vậy $(E)$ có hai tiêu điểm là $F_1(-4;0),F_2(4;0)$, có tiêu cự là $2c=8$.
b) Vì điểm $M$ thuộc $(E)$ nên theo định nghĩa của đường elip ta có $MF_1+MF_2=2a=10$.
c) Gọi $M(x_0;y_0)$. Do $M$ thuộc $(E)$ nên ta có $\dfrac{x_0^2}{25}+\dfrac{y_0^2}{9}=1$. (1)
Theo giả thiết ta có $\widehat{F_1MF_2}=90^\circ$, kết hợp với $O$ là trung điểm của $F_1F_2$ nên ta suy ra $OM=\dfrac{F_1F_2}{2}=c=4$. Điều này tương đương với $x_0^2+y_0^2=16\Leftrightarrow y_0^2=16-x_0^2$. (2)
Thay (2) vào (1) ta được $\dfrac{x_0^2}{25}+\dfrac{16-x_0^2}{9}=1\Leftrightarrow9x_0^2+25(16-x_0^2)=225\Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{175}{16}\Leftrightarrow x_0=\pm\dfrac{5\sqrt7}{4}$.
Thay $x_0$ vào $(2)$ ta được $y_0^2=16-\dfrac{175}{16}=\dfrac{81}{16}\Leftrightarrow y_0=\pm\dfrac94$.
Vậy $OM=4$ và có bốn điểm $M$ thoả mãn đề bài: $M_1\left(\dfrac{5\sqrt7}{4};\dfrac94\right),M_2\left(\dfrac{5\sqrt7}{4};-\dfrac94\right),M_3\left(-\dfrac{5\sqrt7}{4};\dfrac94\right),M_4\left(-\dfrac{5\sqrt7}{4};-\dfrac94\right)$.
Lưu ý: Trong câu c, để tìm tọa độ điểm $M$, ta có thể giải hệ $\left\{\begin{array}{l}M\in(E)\\\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}=0\end{array}\right.$.
Vậy $(E)$ có hai tiêu điểm là $F_1(-4;0),F_2(4;0)$, có tiêu cự là $2c=8$.
b) Vì điểm $M$ thuộc $(E)$ nên theo định nghĩa của đường elip ta có $MF_1+MF_2=2a=10$.
c) Gọi $M(x_0;y_0)$. Do $M$ thuộc $(E)$ nên ta có $\dfrac{x_0^2}{25}+\dfrac{y_0^2}{9}=1$. (1)
Theo giả thiết ta có $\widehat{F_1MF_2}=90^\circ$, kết hợp với $O$ là trung điểm của $F_1F_2$ nên ta suy ra $OM=\dfrac{F_1F_2}{2}=c=4$. Điều này tương đương với $x_0^2+y_0^2=16\Leftrightarrow y_0^2=16-x_0^2$. (2)
Thay (2) vào (1) ta được $\dfrac{x_0^2}{25}+\dfrac{16-x_0^2}{9}=1\Leftrightarrow9x_0^2+25(16-x_0^2)=225\Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{175}{16}\Leftrightarrow x_0=\pm\dfrac{5\sqrt7}{4}$.
Thay $x_0$ vào $(2)$ ta được $y_0^2=16-\dfrac{175}{16}=\dfrac{81}{16}\Leftrightarrow y_0=\pm\dfrac94$.
Vậy $OM=4$ và có bốn điểm $M$ thoả mãn đề bài: $M_1\left(\dfrac{5\sqrt7}{4};\dfrac94\right),M_2\left(\dfrac{5\sqrt7}{4};-\dfrac94\right),M_3\left(-\dfrac{5\sqrt7}{4};\dfrac94\right),M_4\left(-\dfrac{5\sqrt7}{4};-\dfrac94\right)$.
Lưu ý: Trong câu c, để tìm tọa độ điểm $M$, ta có thể giải hệ $\left\{\begin{array}{l}M\in(E)\\\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}=0\end{array}\right.$.