Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 4
Một nhóm công nhân gồm $15$ nữ và $5$ nam. Người ta muốn chọn từ nhóm ra $5$ người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có $1$ tổ trưởng nữ, $1$ tổ phó nữ và có ít nhất $1$ nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác?
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Vì trong $5$ người được chọn phải có ít nhất $1$ nam và ít nhất phải có $2$ nữ nên số công nhân nam gồm $1$ hoặc $2$ hoặc $3$ người nên ta có các trường hợp sau:
$•$ chọn 1 nam và 4 nữ.
+) Số cách chọn 1 nam: 5 cách
+) Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó: $A_{15} ^{2}$
+) Số cách chọn 2 nữ còn lại: $C_{13} ^{2}$
Suy ra có $5A_{15} ^{2}.C_{13} ^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.
$•$ chọn 2 nam và 3 nữ.
+) Số cách chọn 2 nam: $C_{5} ^{2}$ cách.
+) Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó: $A_{15} ^{2}$cách.
+) Số cách chọn 1 nữ còn lại: 13 cách.
Suy ra có $13A_{15} ^{2}.C_{5} ^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.
$•$ Chọn 3 nam và 2 nữ.
+) Số cách chọn 3 nam: $C_{5} ^{3}$ cách.
+) Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó: $A_{15} ^{2}$ cách.
Suy ra có $A_{15} ^{2}.C_{5} ^{3}$ cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có $5A_{15} ^{2}.C_{13} ^{2}+13A_{15} ^{2}.C_{5} ^{2}+A_{15} ^{2}.C_{5} ^{3}=111300$ cách.
Cách 2:
Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{15} ^{2}$.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại là 3 nữ là $C_{13} ^{3}$.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là $C_{18} ^{3}$.
Vậy số cách chọn có $1$ tổ trưởng nữ, $1$ tổ phó nữ và có ít nhất $1$ nam là $A_{15} ^{2}\left( { C_{18} ^{3}-C_{13} ^{3} } \right)=111300$
Vì trong $5$ người được chọn phải có ít nhất $1$ nam và ít nhất phải có $2$ nữ nên số công nhân nam gồm $1$ hoặc $2$ hoặc $3$ người nên ta có các trường hợp sau:
$•$ chọn 1 nam và 4 nữ.
+) Số cách chọn 1 nam: 5 cách
+) Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó: $A_{15} ^{2}$
+) Số cách chọn 2 nữ còn lại: $C_{13} ^{2}$
Suy ra có $5A_{15} ^{2}.C_{13} ^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.
$•$ chọn 2 nam và 3 nữ.
+) Số cách chọn 2 nam: $C_{5} ^{2}$ cách.
+) Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó: $A_{15} ^{2}$cách.
+) Số cách chọn 1 nữ còn lại: 13 cách.
Suy ra có $13A_{15} ^{2}.C_{5} ^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.
$•$ Chọn 3 nam và 2 nữ.
+) Số cách chọn 3 nam: $C_{5} ^{3}$ cách.
+) Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó: $A_{15} ^{2}$ cách.
Suy ra có $A_{15} ^{2}.C_{5} ^{3}$ cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có $5A_{15} ^{2}.C_{13} ^{2}+13A_{15} ^{2}.C_{5} ^{2}+A_{15} ^{2}.C_{5} ^{3}=111300$ cách.
Cách 2:
Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{15} ^{2}$.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại là 3 nữ là $C_{13} ^{3}$.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là $C_{18} ^{3}$.
Vậy số cách chọn có $1$ tổ trưởng nữ, $1$ tổ phó nữ và có ít nhất $1$ nam là $A_{15} ^{2}\left( { C_{18} ^{3}-C_{13} ^{3} } \right)=111300$