Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 3
Một tổ có $5$ nam và $4$ nữ. Có bao nhiêu cách xếp tổ trên thành một hàng ngang sao cho giữa hai bạn nữ có đúng một bạn nam.
Xem lời giải
Lời giải
Vì giữa $4$ bạn nữ có 3 vị trí trống, để xếp thỏa yêu cầu phải có dạng $AaBbCcD$ trong đó $A,B,C,D$ là $4$bạn nữ, $a,b,c$ là $3$ bạn nam.
Bước 1: Chọn $3$ bạn nam trong $5$ bạn nam, có $C_{5} ^{3}$ cách
Bước 2: Gọi nhóm $AaBbCcD$là $X$. Xếp $X$ và $2$ bạn nam còn lại thành một hàng ngang có $3{ \rm{ ! } }$ cách.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1 có $4{ \rm{ ! } }$ cách xếp các bạn nữ trong$X$ và $3{ \rm{ ! } }$ cách xếp các bạn nam trong $X$.
Do đó ta có $C_{5} ^{3}.3!.3!.4!=8640$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bước 1: Chọn $3$ bạn nam trong $5$ bạn nam, có $C_{5} ^{3}$ cách
Bước 2: Gọi nhóm $AaBbCcD$là $X$. Xếp $X$ và $2$ bạn nam còn lại thành một hàng ngang có $3{ \rm{ ! } }$ cách.
Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1 có $4{ \rm{ ! } }$ cách xếp các bạn nữ trong$X$ và $3{ \rm{ ! } }$ cách xếp các bạn nam trong $X$.
Do đó ta có $C_{5} ^{3}.3!.3!.4!=8640$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán