Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 2
Cho tập hợp $A=\left\{ \begin{array}{l} { \rm{ 0 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 5 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ ; } }{ \rm{ } }{ \rm{ 7 } } \end{array} \right\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số của tập $A$ mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}$.
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6. Suy ra $a_{6} \in \left\{ \begin{array}{l} 1;{ \rm{ } }3;{ \rm{ } }5;{ \rm{ } }7 \end{array} \right\}$ và $a_{3} \in \left\{ \begin{array}{l} 0;{ \rm{ } }6 \end{array} \right\}$.
●Trường hợp 1. Với $a_{3} =0$: chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5} ^{3}$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4.6. A_{5} ^{3}$ số.
●Trường hợp 2. Với $a_{3} =6$: chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5} ^{3}$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4.5. A_{5} ^{3}$ số.
Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $4.6.A_{5} ^{3} + 4.5.A_{5} ^{3} = 2640.$
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6. Suy ra $a_{6} \in \left\{ \begin{array}{l} 1;{ \rm{ } }3;{ \rm{ } }5;{ \rm{ } }7 \end{array} \right\}$ và $a_{3} \in \left\{ \begin{array}{l} 0;{ \rm{ } }6 \end{array} \right\}$.
●Trường hợp 1. Với $a_{3} =0$: chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5} ^{3}$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4.6. A_{5} ^{3}$ số.
●Trường hợp 2. Với $a_{3} =6$: chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5} ^{3}$ cách chọn. Do đó trong trường hợp này có $4.5. A_{5} ^{3}$ số.
Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $4.6.A_{5} ^{3} + 4.5.A_{5} ^{3} = 2640.$