Bài tự luận · Bài 3
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 3
(CD11) Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x-4 & \text{nếu} & x < 2 \\ -x & \text{nếu} & x\geq 2 \end{array} \right.$
a) Hàm số trên có liên tục tại $x=2$ hay không?
b) Hàm số trên có liên tục trên $\mathbb{R}$ hay không?
a) Hàm số trên có liên tục tại $x=2$ hay không?
b) Hàm số trên có liên tục trên $\mathbb{R}$ hay không?
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $f(2)=-2$; $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}(x-4)=-2;\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}(-x)=-2.$
Suy ra $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$. Vậy hàm số trên liên tục tại $x=2$.
b) Với $x < 2,f(x)=x-4$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(-\infty ;2)$.
Với $x>2,f(x)=-x$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(2;+\infty )$.
Ngoài ra, theo câu a ta có hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=2$.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.
Suy ra $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$. Vậy hàm số trên liên tục tại $x=2$.
b) Với $x < 2,f(x)=x-4$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(-\infty ;2)$.
Với $x>2,f(x)=-x$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(2;+\infty )$.
Ngoài ra, theo câu a ta có hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=2$.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.