Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$ và $AB>CD$. Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ quay quanh $AI$ cắt các cạnh $SB,\,SD$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) $IM$ kéo dài cắt $BC$ tại $R$, $IN$ kéo dài cắt $CD$ tại $Q$. Chứng minh $RQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
c) Tìm tập hợp giao điểm của $IM$ và $AN$.

Question

DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image1085.png] Để tìm tập hợp giao điểm $I$ của hai đường thẳng thay đổi $a,b$ ta chọn hai mặt phẳng cố định $\left( \alpha ight)$ và $\left( \beta ight)$ cắt nhau lần lượt chứa $a,b$, khi đó $I=a\cap b\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in a\subset\left( \alpha ight) \ I\in b\subset\left( \beta ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow I\in d=\left( \alpha ight)\cap\left( \beta ight)$ Vậy điểm $I$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ và $\left( \beta ight)$. Để chứng minh đường thẳng $d$ đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau - Chọn một điểm cố định $J$ thuộc hai mặt phẳng $\left( \delta ight)$ và $\left( \gamma ight)$ - Chứng minh $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \delta ight)$ và $\left( \gamma ight)$, khi đó $d$ đi qua điểm cố định $J$. Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$ và $AB>CD$. Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $\left( P ight)$ quay quanh $AI$ cắt các cạnh $SB,\,SD$ lần lượt tại $M,N$. a) Chứng minh $MN$ luôn đi qua một điểm cố định. b) $IM$ kéo dài cắt $BC$ tại $R$, $IN$ kéo dài cắt $CD$ tại $Q$. Chứng minh $RQ$ luôn đi qua một điểm cố định. c) Tìm tập hợp giao điểm của $IM$ và $AN$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image1256.png] a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta thấy ba mặt phẳng $\left( AMIN ight),\,\left( SAC ight)$ và $\left( SBD ight)$ lần lượt có các giao tuyến là $AI,\,MN$ và $SO$ $\Rightarrow$ $3$ đường thẳng này đồng qui hoặc song song. Nhận thấy $SO$ và $AI$ giao nhau tại điểm cố định $K$ từ đó suy ra $MN$ luôn đi qua điểm cố định $K$. b) Dễ thấy ba điểm $A,\,Q,\,R$ đều thuộc hai mặt phẳng là $\left( ABCD ight)$ và $\left( AMIN ight)$ nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên hay $RQ$ luôn đi qua một điểm cố định là $A$. c) Gọi $T$ là giao điểm của $IM$ và $AN$. $\left\{ \begin{array}{l} T\in AN\Rightarrow T\in \left( SAD ight) \ T\in IM\Rightarrow T\in \left( SBC ight) \end{array} ight.\Rightarrow T$ thuộc giao tuyến $2$ mặt phẳng $\left( SAD ight)$ và $\left( SBC ight)$ là một đường thẳng cố định. Nhưng do $I$ là trung điểm $SC$ và $M,\,N$ nằm trên $2$ đoạn $SB$ và $SD$ nên quỹ tích điểm $T$ là đoạn $SP$ với $P$ là giao của $AD$ và $BC$.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 44