Cho tứ diện $ABDC$. Hai điểm $M,N$ lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $\frac{AM}{AB}
eq \frac{AN}{AC}$. Một mặt phẳng $\left( P ight)$ thay đổi luôn chứa $MN$, cắt các cạnh $CD$ và $BD$ lần lượt tại $E$ và $F$. a) Chứng minh $EF$ luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm tập hợp giao điểm $I$ của $ME$ và $NF$. c) Tìm tập hợp giao điểm $J$ của $MF$ và $NE$.

Question

DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image1085.png] Để tìm tập hợp giao điểm $I$ của hai đường thẳng thay đổi $a,b$ ta chọn hai mặt phẳng cố định $\left( \alpha ight)$ và $\left( \beta ight)$ cắt nhau lần lượt chứa $a,b$, khi đó $I=a\cap b\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in a\subset\left( \alpha ight) \ I\in b\subset\left( \beta ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow I\in d=\left( \alpha ight)\cap\left( \beta ight)$ Vậy điểm $I$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ và $\left( \beta ight)$. Để chứng minh đường thẳng $d$ đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau - Chọn một điểm cố định $J$ thuộc hai mặt phẳng $\left( \delta ight)$ và $\left( \gamma ight)$ - Chứng minh $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \delta ight)$ và $\left( \gamma ight)$, khi đó $d$ đi qua điểm cố định $J$. Cho tứ diện $ABDC$. Hai điểm $M,N$ lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $\frac{AM}{AB}
eq \frac{AN}{AC}$. Một mặt phẳng $\left( P ight)$ thay đổi luôn chứa $MN$, cắt các cạnh $CD$ và $BD$ lần lượt tại $E$ và $F$. a) Chứng minh $EF$ luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm tập hợp giao điểm $I$ của $ME$ và $NF$. c) Tìm tập hợp giao điểm $J$ của $MF$ và $NE$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Trong $\left( ABC ight)$ gọi $K=MN\cap BC$ thì $K$ cố định và $\left\{ \begin{array}{l} K\in MN \ K\in BC \end{array} ight.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} K\in \left( MNP ight) \ K\in \left( BCD ight) \end{array} ight.$ Lại có $EF=\left( P ight)\cap\left( BCD ight)\Rightarrow K\in EF$ Vậy $EF$ luôn đi qua điểm $K$ cố định [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image1195.png] b) Phần thuận: Trong $\left( P ight)$ gọi $I=ME\cap NF\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in ME\subset\left( MCD ight) \ I\in NF\subset\left( NBD ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow I\in \left( MCD ight)\cap\left( NBD ight)$. Gọi $O=CM\cap BN\Rightarrow OD=\left( MCD ight)\cap\left( NBD ight)\Rightarrow I\in OD$ Giới hạn: Khi $E$ chạy đến $C$ thì $F$ chạy đến $B$ và $I$ chạy đến $O$ Khi $E$ chạy đến $D$ thì $F$ chạy đến $D$ và $I$ chạy đến $D$ Phần đảo: Gọi $I$ là điểm bất kì trên đoạn $OD$, trong $\left( MCD ight)$ gọi $E=MI\cap CD$, trong $\left( NBD ight)$ gọi $F=NI\cap BD$ suy ra $\left( MNEF ight)$ là mặt phẳng quay quanh $MN$ cắt các cạnh $DB,DC$ tại các điểm $E,F$ và $I=ME\cap NF$. Vậy tập hợp điểm $I$ là đoạn $OD$. c) Gọi $J=MF\cap NE\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} J\in MF\subset\left( ADB ight) \ J\in NE\subset\left( ACD ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow J\in \left( ADB ight)\cap\left( ACD ight)$. Mà $AD=\left( ADC ight)\cap\left( ADB ight)$. Khi $E$ chạy đến $C$ thì $F$ chạy đến $B$ và $J$ chạy đến $A$ Khi $E$ chạy đến $D$ thì $F$ chạy đến $D$ và $J$ chạy đến $D$ Từ đó ta có tập hợp điểm $J$ là đường thẳng $AD$ trừ các điểm trong của đoạn $AD$.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 43