Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn là $AB$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ quay quanh $AB$ cắt các cạnh $SC,SD$ tại các điểm tương ứng $E,F$.
a) Tìm tập hợp giao điểm $I$ của $AF$ và $BE$.
b) Tìm tập hợp giao điểm $J$ của $AE$ và $BF$.

Question

DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image1085.png] Để tìm tập hợp giao điểm $I$ của hai đường thẳng thay đổi $a,b$ ta chọn hai mặt phẳng cố định $\left( \alpha ight)$ và $\left( \beta ight)$ cắt nhau lần lượt chứa $a,b$, khi đó $I=a\cap b\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in a\subset\left( \alpha ight) \ I\in b\subset\left( \beta ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow I\in d=\left( \alpha ight)\cap\left( \beta ight)$ Vậy điểm $I$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ và $\left( \beta ight)$. Để chứng minh đường thẳng $d$ đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau - Chọn một điểm cố định $J$ thuộc hai mặt phẳng $\left( \delta ight)$ và $\left( \gamma ight)$ - Chứng minh $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \delta ight)$ và $\left( \gamma ight)$, khi đó $d$ đi qua điểm cố định $J$. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn là $AB$. Một mặt phẳng $\left( P ight)$ quay quanh $AB$ cắt các cạnh $SC,SD$ tại các điểm tương ứng $E,F$. a) Tìm tập hợp giao điểm $I$ của $AF$ và $BE$. b) Tìm tập hợp giao điểm $J$ của $AE$ và $BF$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Phần thuận: [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image1118.png] Ta có $I=AF\cap BE\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in AF \ I\in BE \end{array} ight.$, $\left\{ \begin{array}{l} AF\subset\left( SAD ight) \ BE\subset\left( SBC ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow I\in \left( SAD ight)\cap\left( SBC ight)$. Trong $\left( ABCD ight)$ gọi $H=AD\cap BC\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} H\in AD \ H\in BC \end{array} ight.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} H\in \left( SAD ight) \ H\in \left( SBC ight) \end{array} ight.$. $\Rightarrow SH=\left( SAD ight)\cap\left( SBC ight)\Rightarrow I\in SH$. Giới hạn: Khi $E$ chạy đến $C$ thì $F$ chạy đến $D$ và $I$ chạy đến $H$. Khi $E$ chạy đến $S$ thì $F$ chạy đến $S$ và $I$ chạy đến $S$. Phần đảo: Lấy điểm $I$ bất kì thuộc đoạn $SH$, trong $\left( SAH ight)$ gọi $F=SD\cap AI$, trong $\left( SBH ight)$ gọi $E=SC\cap BI$ khi đó $\left( ABEF ight)$ là mặt phẳng quay quanh $AB$ cắt các cạnh $SC,SD$ tại $E,F$ và $I$ là giao điểm của $AF$ và $BE$. Vậy tập hợp điểm $I$ là đoạn $SH$. b) Ta có $J=AE\cap BF\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} J\in AE \ J\in BF \end{array} ight.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} J\in \left( SAC ight) \ J\in \left( SBD ight) \end{array} ight.\Rightarrow J\in \left( SAC ight)\cap\left( SBD ight)$ Nhưng $SO=\left( SAC ight)\cap\left( SBD ight)$ nên $J\in SO$. Khi $E$ chạy đến chạy đến $C$ thì $F$ chạy đến $D$ và $J$ chạy đến $O$. Khi $E$ chạy đến $S$ thì $F$ chạy đến $S$ và $J$ chạy đến $S$. Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm $J$ là đoạn $SO$.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 42