(THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\left( 1-x \right)\left( x+2 \right)g\left( x \right)+2019$ với $g\left( x \right)

Question

Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Sử dụng đồ thị của $f'\left( x \right)$, lập bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$. Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0$) (*) Bước 3: Giải bất phương trình $\left( * \right)$ (dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$, $g'\left( x \right)=u'\left( x \right).f'\left[ u\left( x \right) \right]+v'\left( x \right)$. Bước 2: Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in K$; (Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0,\,\forall x\in K$) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào $g'\left( x \right)$ để loại các phương án sai. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\left( 1-x \right)\left( x+2 \right)g\left( x \right)+2019$ với $g\left( x \right)<0$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=f\left( 1-x \right)+2019x+2020$ nghịch biến trên khoảng nào?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đặt $h\left( x ight)=f\left( 1-x ight)+2019x+2020$. Vì hàm số $f\left( x ight)$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên hàm số [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image549.png] cũng xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $h'\left( x ight)=-f'\left( 1-x ight)+2019$. Do $h'\left( x ight)=0$ tại hữu hạn điểm nên để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $h\left( x ight)$, ta tìm các giá trị của $x$ sao cho $h'\left( x ight)<0$ $\Leftrightarrow$ $-f'\left( 1-x ight)+2019<0$ $\Leftrightarrow$ $f'\left( 1-x ight)-2019>0$ $\Leftrightarrow$ [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image558.png] $\Leftrightarrow$ $x\left( 3-x ight)<0$ (Do $g\left( x ight)<0$, $\forall x\in \mathbb{R}$) $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l} x<0 \ x>3 \end{array} ight.$. Vậy hàm số $y=f\left( 1-x ight)+2019x+2020$ nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;0 ight)$ và $\left( 3;\,+\infty ight)$.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 36