Bài tự luận Hàm số bậc ba · Bài 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^3-6x^2+9x$.
Tập xác định: $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên:
- Ta có $y'=3x^2-12x+9$, $y'=0$ khi và chỉ khi $x=1$ hoặc $x=3$.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(1;3)$.
- Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với $y_{\mathrm{CĐ}}=4$, đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y_{\mathrm{CT}}=0$.
- Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
- Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;0)$, cắt trục hoành tại các điểm $(0;0)$ và $(3;0)$. Đồ thị nhận điểm $(2;2)$ làm tâm đối xứng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^3+3x^2+6x+4$.
Tập xác định: $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên:

- Ta có $y'=3x^2+6x+6>0$ với mọi $x$.
- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;4)$, cắt trục hoành tại điểm $(-1;0)$. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm $(-1;0)$.