Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 2
Hai nhà máy được đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí $C$ trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy $A,B$ đến nhà máy xử lí nước thải $C$ gồm các đoạn thẳng $AI,BI$ và $IC$, với $I$ là vị trí nằm giữa $M$ và $C$ (Hình).
Cần chọn vị trí điểm $I$ như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $IM=x$, $0\leq x\leq 3$ (tính theo km).
Ta có $IA=IB=\sqrt{IM^2+MA^2}=\sqrt{x^2+4}$ (km).
Tổng độ dài (tính theo km) của đường ống là $l=l(x)=2\sqrt{x^2+4}+3-x$.
Xét hàm số $l(x)=2\sqrt{x^2+4}+3-x$ trên $[0;3]$, ta có:
$l'(x)=2\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}-1=\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}-1$; $l'(x)=0\Leftrightarrow\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}-1=0\Leftrightarrow 2x=\sqrt{x^2+4}\Leftrightarrow 4x^2=x^2+4\Leftrightarrow x^2=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1,155\in[0;3]$.
Ta có: $l(0)=7$; $l(3)=2\sqrt{13}\approx7,211$; $l\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=3+2\sqrt{3}\approx6,464$.
Do đó $\min l(x)=3+2\sqrt{3}\approx6,464$ khi $x=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1,155$.
Vậy tổng độ dài đường ống nhỏ nhất là khoảng $6,464$ km khi điểm $I$ được đặt ở vị trí cách điểm $M$ một khoảng bằng $1,155$ km.
