Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 27
(CD12) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;-1;1)$, $C'(4;5;-5)$. Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$;
b) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;1;1)$. Gọi toạ độ của điểm $C$ là $(x_C;y_C;z_C)$, ta có: $\overrightarrow{DC}=(x_C-1;y_C+1;z_C-1)$. Trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}x_C-1=1\\y_C+1=1\\z_C-1=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=2\\y_C=0\\z_C=2\end{array}\right.$
Vậy tọa độ của điểm $C(2;0;2)$.
Tương tự, ta có: $D'(3;4;-6),B'(4;6;-5)$. $\overrightarrow{AC}=(1;0;1)$ và $\overrightarrow{B'D'}=(-1;-2;-1)$. Khi đó, $u=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'D'}]=(2;0;-2)$.
Vậy $u=(2;0;-2)$ cùng vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AC}=(3;5;-6),\overrightarrow{BD}=(-1;-2;-1)$.
Khi đó, $v=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}]=(-17;9;-1)$. Vậy vectơ $v=(-17;9;-1)$ cùng vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.
