Bài tập nâng cao · Bài 7
Dạng 1. Phương trình đường tròn
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 7
Đường tròn đi qua $A(1;8)$ và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ $(R<10)$. Khi đó $P=2a+2b+R^2$ có giá trị là
Xem lời giải
Lời giải
$A(1;8)$ thuộc góc phần tư thứ nhất mà đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ.
$\Rightarrow$ Tâm $I$ thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
$\Rightarrow$ Tọa độ $I(a,a)$, với $a>0$.
Đường tròn qua $A(1;8)\Leftrightarrow IA=d(I,Ox)=d(I,Oy)\Leftrightarrow\sqrt{(a-1)^2+(a-8)^2}=a$
$\Leftrightarrow(a-1)^2+(a-8)^2=a^2\Leftrightarrow a^2-18a+65=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=5\\a=13\end{array}\right.$
Vì $R<10\Rightarrow a=5$. Khi đó phương trình đường tròn là $(x-5)^2+(y-5)^2=25$.
Vậy $2a+2b+R^2=45$.
$\Rightarrow$ Tâm $I$ thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
$\Rightarrow$ Tọa độ $I(a,a)$, với $a>0$.
Đường tròn qua $A(1;8)\Leftrightarrow IA=d(I,Ox)=d(I,Oy)\Leftrightarrow\sqrt{(a-1)^2+(a-8)^2}=a$
$\Leftrightarrow(a-1)^2+(a-8)^2=a^2\Leftrightarrow a^2-18a+65=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=5\\a=13\end{array}\right.$
Vì $R<10\Rightarrow a=5$. Khi đó phương trình đường tròn là $(x-5)^2+(y-5)^2=25$.
Vậy $2a+2b+R^2=45$.