Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 4
Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày xí nghiệp sản xuất $x$ m³ sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi phí bao gồm: 4 triệu đồng chi phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và $0,001x^2$ triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được tối đa 100 m³ sản phẩm.
a) Tính tổng chi phí (kí hiệu là $C$, đơn vị: triệu đồng) để xí nghiệp sản xuất $x$ (m³) sản phẩm trong một ngày.
b) Tính chi phí trung bình (kí hiệu là $\bar{C}$) trên mỗi mét khối sản phẩm.
c) Tìm giá trị của $x$ sao cho chi phí trung bình $\bar{C}$ thấp nhất. Tìm giá trị thấp nhất đó.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tổng chi phí (triệu đồng) để xí nghiệp sản xuất $x$ m³ sản phẩm trong một ngày là
$C=C(x)=4+0,2x+0,001x^2$; $0\leq x\leq100$.
b) Chi phí trung bình (triệu đồng) trên mỗi mét khối sản phẩm là
$\bar{C}=\bar{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{4+0,2x+0,001x^2}{x}=0,001x+\frac{4}{x}+0,2$; $0<x\leq100$.
c) Ta có: $\bar{C}'(x)=0,001-\frac{4}{x^2}$;
$\bar{C}'(x)=0\Leftrightarrow0,001-\frac{4}{x^2}=0\Leftrightarrow x^2=4000\Leftrightarrow x=20\sqrt{10}\in(0;100]$.
Ta có $\bar{C}(20\sqrt{10})=\frac{\sqrt{10}}{25}+\frac{1}{5}\approx0,326$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là $\bar{C}(20\sqrt{10})\approx0,326$ (triệu đồng/m³ sản phẩm), đạt được khi $x=20\sqrt{10}\approx63$ m³.
