Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 4
Hàm lượng các vi chất (chất vi lượng) calcium, phosphorus và iron chứa trong 100 g hai loại thực phẩm X và Y được cho ở bảng sau:
Calcium (mg) Phosphorus (mg) Iron (mg)
X 200 600 8
Y 500 300 6
Từ hai loại thực phẩm X và Y, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm hỗn hợp chứa ít nhất 2000 mg calcium, 3000 mg phosphorus, 48 mg iron. Cần chọn bao nhiêu gam mỗi loại thực phẩm X và Y sao cho lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ ($x\geq 0, y\geq 0$, tính theo 100 g) lần lượt là khối lượng thực phẩm X và Y cần chọn. Từ yêu cầu khối lượng tối thiểu của các vi chất calcium, phosphorus, iron, ta có các bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 200x+500y\geq 2000 \\ 600x+300y\geq 3000 \\ 8x+6y\geq 48 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} 2x+5y\geq 20 \\ 2x+y\geq 10 \\ 4x+3y\geq 24 \end{array} \right.$.
Lượng thực phẩm hỗn hợp nhận được là $M=100(x+y)$ g.
Từ đó, ta nhận được bài toán: $M=100(x+y)\to \min$
với ràng buộc $\left\{ \begin{array}{l} 2x+5y\geq 20 \\ 2x+y\geq 10 \\ 4x+3y\geq 24 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{array} \right.$
Tập phương án $\Omega$ của bài toán là miền không gạch chéo trên hình bên với các đỉnh $A(0;10), B(3;4), C\left(\frac{30}{7};\frac{16}{7}\right)$ và $D(10;0)$.
Giá trị của $M$ tại các đỉnh:
$M(0;10)=1000; M(3;4)=700$.
$M\left(\frac{30}{7};\frac{16}{7}\right)=\frac{4600}{7}; M(10;0)=1000$.
Suy ra $\min_{\Omega}M=M\left(\frac{30}{7};\frac{16}{7}\right)=\frac{4600}{7}$, đạt được khi $x=\frac{30}{7}, y=\frac{16}{7}$.
Vậy để thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất, cần chọn $\frac{30}{7}\cdot 100$ g $=\frac{3000}{7}$ g $\approx 429$ g thực phẩm X và $\frac{16}{7}\cdot 100$ g $=\frac{1600}{7}$ g $\approx 229$ g thực phẩm Y.
