Bài tập nâng cao · Bài 78
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 78
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x-2y-5=0$ và các điểm $A(1;2)$, $B(-2;3)$, $C(-2;1)$. Viết phương trình đường thẳng $d$, biết đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ và cắt đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M(2m+5;m)\in\Delta$.
$G(-1;2)$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG$.
$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MG$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$.
$\overrightarrow{GM}=(2m+6;m-2)$; VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow u=(2;1)$.
$M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow u=0\Leftrightarrow2(2m+6)+m-2=0\Leftrightarrow5m+10=0\Leftrightarrow m=-2\Rightarrow M(1;-2)$.
Đường thẳng $d$ qua gốc tọa độ nên $d:y=ax$.
$M(1;-2)\in d\Rightarrow a=-2$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:2x+y=0$.
$G(-1;2)$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG$.
$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MG$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$.
$\overrightarrow{GM}=(2m+6;m-2)$; VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow u=(2;1)$.
$M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow u=0\Leftrightarrow2(2m+6)+m-2=0\Leftrightarrow5m+10=0\Leftrightarrow m=-2\Rightarrow M(1;-2)$.
Đường thẳng $d$ qua gốc tọa độ nên $d:y=ax$.
$M(1;-2)\in d\Rightarrow a=-2$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:2x+y=0$.