Bài tập nâng cao · Bài 77
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 77
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(4;1)$, đường thẳng $d$ qua $M$, $d$ cắt tia $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A(a;0)$, $B(0;b)$ sao cho tam giác $ABO$ ($O$ là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị $a-4b$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ (theo giả thiết ta có $a>0, b>0$)
Do $d$ đi qua $M(4;1)$ nên ta có $\dfrac4a+\dfrac1b=1$
Mặt khác diện tích của tam giác vuông $ABO$ là $S_{ABO}=\dfrac12ab$
Áp dụng BĐT Cô si ta có $1=\dfrac4a+\dfrac1b\geq2\sqrt{\dfrac4a\cdot\dfrac1b}=\dfrac4{\sqrt{ab}}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\geq4\Leftrightarrow\dfrac12ab\geq8$
Vậy diện tích của tam giác vuông $ABO$ nhỏ nhất bằng $8$ khi $a$, $b$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac4a=\dfrac1b\\\dfrac4a+\dfrac1b=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=8\\b=2\end{array}\right.\Rightarrow a-4b=8-4\cdot2=0$.
Do $d$ đi qua $M(4;1)$ nên ta có $\dfrac4a+\dfrac1b=1$
Mặt khác diện tích của tam giác vuông $ABO$ là $S_{ABO}=\dfrac12ab$
Áp dụng BĐT Cô si ta có $1=\dfrac4a+\dfrac1b\geq2\sqrt{\dfrac4a\cdot\dfrac1b}=\dfrac4{\sqrt{ab}}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\geq4\Leftrightarrow\dfrac12ab\geq8$
Vậy diện tích của tam giác vuông $ABO$ nhỏ nhất bằng $8$ khi $a$, $b$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac4a=\dfrac1b\\\dfrac4a+\dfrac1b=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=8\\b=2\end{array}\right.\Rightarrow a-4b=8-4\cdot2=0$.