Bài tập nâng cao · Bài 76
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 76
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(2;-1)$, $B(3;2)$ và $C(1;3)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $2x-y+1=0$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Vì điểm $M$ thuộc đường thẳng $2x-y+1=0$ nên tọa độ điểm $M$ có dạng: $M(a;2a+1)$.
Ta có:
$\overrightarrow{MA}=(2-a;-2a-2),\quad\overrightarrow{MB}=(3-a;1-2a),\quad\overrightarrow{MC}=(1-a;-2a+2)$
$\Rightarrow\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}=(a+4;2a-8)\\\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{(a+4)^2+(2a-8)^2}=\sqrt{5a^2-24a+80}$
Vậy $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f(a)=5a^2-24a+80$ nhỏ nhất.
Ta có: $f(a)=5\left(a-\dfrac{12}{5}\right)^2+\dfrac{256}{5}\geq\dfrac{256}{5}\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|_{\min}=\dfrac{16\sqrt{5}}{5}$ đạt được khi $a=\dfrac{12}{5}$.
Suy ra $M\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{29}{5}\right)$.
Ta có:
$\overrightarrow{MA}=(2-a;-2a-2),\quad\overrightarrow{MB}=(3-a;1-2a),\quad\overrightarrow{MC}=(1-a;-2a+2)$
$\Rightarrow\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}=(a+4;2a-8)\\\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{(a+4)^2+(2a-8)^2}=\sqrt{5a^2-24a+80}$
Vậy $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f(a)=5a^2-24a+80$ nhỏ nhất.
Ta có: $f(a)=5\left(a-\dfrac{12}{5}\right)^2+\dfrac{256}{5}\geq\dfrac{256}{5}\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|_{\min}=\dfrac{16\sqrt{5}}{5}$ đạt được khi $a=\dfrac{12}{5}$.
Suy ra $M\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{29}{5}\right)$.