Bài tập nâng cao · Bài 75
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 75
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x-y+2=0$, $\Delta': ax+by-2=0$ $(-2\leq b\leq2)$ và điểm $A(1;1)$. Tính giá trị của $T=a^2+b^2$ biết $\Delta'$ đi qua $A$ và $\cos\left(\widehat{\Delta,\Delta'}\right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{n_\Delta}=(1;-1); \overrightarrow{n_{\Delta'}}=(a;b)$.
$A(1;1)\in\Delta'\Rightarrow a+b-2=0\Rightarrow a=2-b$
Ta có: $\cos\left(\widehat{\Delta,\Delta'}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_\Delta}\cdot\overrightarrow{n_{\Delta'}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_\Delta}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\Delta'}}\right|}=\dfrac{2|b-1|}{\sqrt{2[(b-1)^2+1]}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{|b-1|}{\sqrt{(b-1)^2+1}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{(b-1)^2+1}}$, $\forall b\in[-2;2]$
Để $\cos\left(\widehat{\Delta,\Delta'}\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $(b-1)^2$ lớn nhất $\forall b\in[-2;2]$
Suy ra $b=-2\Rightarrow a=4$
Vậy $T=4^2+(-2)^2=20$
$A(1;1)\in\Delta'\Rightarrow a+b-2=0\Rightarrow a=2-b$
Ta có: $\cos\left(\widehat{\Delta,\Delta'}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_\Delta}\cdot\overrightarrow{n_{\Delta'}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_\Delta}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\Delta'}}\right|}=\dfrac{2|b-1|}{\sqrt{2[(b-1)^2+1]}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{|b-1|}{\sqrt{(b-1)^2+1}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{(b-1)^2+1}}$, $\forall b\in[-2;2]$
Để $\cos\left(\widehat{\Delta,\Delta'}\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $(b-1)^2$ lớn nhất $\forall b\in[-2;2]$
Suy ra $b=-2\Rightarrow a=4$
Vậy $T=4^2+(-2)^2=20$