Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 74
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A(3;1)$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc tia $Ox$ và điểm $N$ thuộc tia $Oy$ sao cho tam giác $AMN$ vuông tại $A$ và có diện tích nhỏ nhất (GTNN).
Xem lời giải
Lời giải
$M(a;0), N(0;b), a,b\geq0$
Suy ra: $\overrightarrow{AM}=(a-3;-1), \overrightarrow{AN}=(-3;b-1)$
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=-3(a-3)-(b-1)=0\Leftrightarrow3(a-3)+(b-1)=0\Leftrightarrow b=10-3a$.
Ta có: $b\geq0\Rightarrow a\leq\dfrac{10}{3}\quad(1)$.
Diện tích của tam giác $AMN$ là: $S=\dfrac12 AM\cdot AN=\dfrac32(a^2-6a+10)$.
Diện tích của tam giác $AMN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $f(a)=\dfrac32(a^2-6a+10)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[0;\dfrac{10}{3}\right]$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra diện tích nhỏ nhất khi $a=3\Rightarrow b=1$.
Vậy $M(3;0); N(0;1)$
