Bài tập nâng cao · Bài 73
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 73
Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $x-2y-1=0$ và hai điểm $A(1;2)$, $B(-3;1)$. Gọi điểm $M(a;b)$ trên đường thẳng $(d)$ sao cho $\left|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=a+b^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi điểm $I$ thỏa $2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
Ta có $\overrightarrow{OI}=\dfrac{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}{2-3}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_I=\dfrac{2\cdot1-3(-3)}{2-3}=-11\\y_I=\dfrac{2\cdot2-3\cdot1}{2-3}=-1\end{array}\right.\Rightarrow I(-11;-1)$.
(Nếu học sinh không biết công thức này thì dùng hệ $\left\{\begin{array}{l}2(x_A-x_I)-3(x_B-x_I)=0\\2(y_A-y_I)-3(y_B-y_I)=0\end{array}\right.$)
Ta có: $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=(2-3)\overrightarrow{MI}=-\overrightarrow{MI}$
(Hoặc chèn điểm $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})-3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=-\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{MI}$)
$\Rightarrow\left|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|=\left|-\overrightarrow{MI}\right|=MI$
Do đó $\left|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MI$ ngắn nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $(d)$.
Gọi $M(a;b)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=(a+11;b+1)$.
Ta có $\overrightarrow n=(1;-2)$ là VTPT của $(d)$, chọn $\overrightarrow u=(2;1)$ là VTCP của $(d)$.
$M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $(d)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IM}\perp\overrightarrow u\\M\in(d)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow u=0\\a-2b-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2(a+11)+b+1=0\\a-2b-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-9\\b=-5\end{array}\right.$
Vậy $S=16$.
Ta có $\overrightarrow{OI}=\dfrac{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}{2-3}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_I=\dfrac{2\cdot1-3(-3)}{2-3}=-11\\y_I=\dfrac{2\cdot2-3\cdot1}{2-3}=-1\end{array}\right.\Rightarrow I(-11;-1)$.
(Nếu học sinh không biết công thức này thì dùng hệ $\left\{\begin{array}{l}2(x_A-x_I)-3(x_B-x_I)=0\\2(y_A-y_I)-3(y_B-y_I)=0\end{array}\right.$)
Ta có: $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=(2-3)\overrightarrow{MI}=-\overrightarrow{MI}$
(Hoặc chèn điểm $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})-3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=-\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{MI}$)
$\Rightarrow\left|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|=\left|-\overrightarrow{MI}\right|=MI$
Do đó $\left|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\right|$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MI$ ngắn nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $(d)$.
Gọi $M(a;b)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=(a+11;b+1)$.
Ta có $\overrightarrow n=(1;-2)$ là VTPT của $(d)$, chọn $\overrightarrow u=(2;1)$ là VTCP của $(d)$.
$M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $(d)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IM}\perp\overrightarrow u\\M\in(d)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow u=0\\a-2b-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2(a+11)+b+1=0\\a-2b-1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-9\\b=-5\end{array}\right.$
Vậy $S=16$.