Bài tập nâng cao · Bài 72
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 72
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d: 2x-3y-1=0$ và hai điểm $A(3;1)$, $B(1;2)$. Gọi điểm $M(a;b)$ trên đường thẳng $d$ sao cho $|MA-MB|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị $T=a+b$ là:
Xem lời giải
Lời giải
Thay tọa độ điểm $A, B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có:
$(2\cdot3-3\cdot1-1)(2\cdot1-3\cdot2-1)=2\cdot(-5)=-10<0$.
Do đó $A, B$ nằm khác phía so với đường thẳng $d$.
Gọi $A'(x_0;y_0)$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$, khi đó $A'$ và $B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$. Đường thẳng $AA'$ đi qua $A(3;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ nên nhận $\overrightarrow n=(3;2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
$3(x-3)+2(y-1)=0\Leftrightarrow3x+2y-11=0$.
Gọi $I=d\cap AA'$. Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}2x-3y-1=0\\3x+2y-11=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{35}{13}\\y=\dfrac{19}{13}\end{array}\right.$.
Vậy $I\left(\dfrac{35}{13};\dfrac{19}{13}\right)$ là trung điểm $AA'$ nên $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x_0+3}{2}=\dfrac{35}{13}\\\dfrac{y_0+1}{2}=\dfrac{19}{13}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_0=\dfrac{31}{13}\\y_0=\dfrac{25}{13}\end{array}\right.$.
Do đó $A'\left(\dfrac{31}{13};\dfrac{25}{13}\right)$.
Phương trình đường thẳng $A'B$: $\dfrac{x-1}{18}=\dfrac{y-2}{-1}\Leftrightarrow x+18y-37=0$.
Ta có: $|MA-MB|=|MA'-MB|\leq A'B$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A', B, M$ thẳng hàng hay $M=d\cap A'B$. Khi đó toạ độ điểm $M$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}2x-3y-1=0\\x+18y-37=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{43}{13}\\y=\dfrac{73}{39}\end{array}\right.$.
Do đó $M\left(\dfrac{43}{13};\dfrac{73}{39}\right)$. Suy ra $T=\dfrac{43}{13}+\dfrac{73}{39}=\dfrac{202}{39}$.
$(2\cdot3-3\cdot1-1)(2\cdot1-3\cdot2-1)=2\cdot(-5)=-10<0$.
Do đó $A, B$ nằm khác phía so với đường thẳng $d$.
Gọi $A'(x_0;y_0)$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$, khi đó $A'$ và $B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$. Đường thẳng $AA'$ đi qua $A(3;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ nên nhận $\overrightarrow n=(3;2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
$3(x-3)+2(y-1)=0\Leftrightarrow3x+2y-11=0$.
Gọi $I=d\cap AA'$. Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}2x-3y-1=0\\3x+2y-11=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{35}{13}\\y=\dfrac{19}{13}\end{array}\right.$.
Vậy $I\left(\dfrac{35}{13};\dfrac{19}{13}\right)$ là trung điểm $AA'$ nên $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x_0+3}{2}=\dfrac{35}{13}\\\dfrac{y_0+1}{2}=\dfrac{19}{13}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_0=\dfrac{31}{13}\\y_0=\dfrac{25}{13}\end{array}\right.$.
Do đó $A'\left(\dfrac{31}{13};\dfrac{25}{13}\right)$.
Phương trình đường thẳng $A'B$: $\dfrac{x-1}{18}=\dfrac{y-2}{-1}\Leftrightarrow x+18y-37=0$.
Ta có: $|MA-MB|=|MA'-MB|\leq A'B$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A', B, M$ thẳng hàng hay $M=d\cap A'B$. Khi đó toạ độ điểm $M$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}2x-3y-1=0\\x+18y-37=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{43}{13}\\y=\dfrac{73}{39}\end{array}\right.$.
Do đó $M\left(\dfrac{43}{13};\dfrac{73}{39}\right)$. Suy ra $T=\dfrac{43}{13}+\dfrac{73}{39}=\dfrac{202}{39}$.