Bài tập nâng cao · Bài 71
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 71
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-6;3)$, $B(0;-1)$ và $C(3;2)$. Điểm $M(a;b)$ nằm trên đường thẳng $d: 2x-y-3=0$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b$.
Xem lời giải
Lời giải
Tìm điểm $I(x;y)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $I\left(-1;\dfrac{4}{3}\right)$.
Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right|=\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI$.
Do đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $d$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $I$ và vuông góc với $d$: $x+2y=\dfrac{5}{3}$.
$M$ là giao điểm của $d$ và $\Delta$, tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}2x-y=3\\x+2y=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{23}{15}\\y=\dfrac{1}{15}\end{array}\right.$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{23}{15}\\b=\dfrac{1}{15}\end{array}\right.\Rightarrow a+b=\dfrac{8}{5}$.
Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right|=\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI$.
Do đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $d$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $I$ và vuông góc với $d$: $x+2y=\dfrac{5}{3}$.
$M$ là giao điểm của $d$ và $\Delta$, tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}2x-y=3\\x+2y=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{23}{15}\\y=\dfrac{1}{15}\end{array}\right.$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{23}{15}\\b=\dfrac{1}{15}\end{array}\right.\Rightarrow a+b=\dfrac{8}{5}$.