Bài tập nâng cao · Bài 70
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 70
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ qua $M(1;4)$ và cắt hai tia $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất. Tính tổng các hoành độ và tung độ của $A,B$.
Xem lời giải
Lời giải
Theo đề $A\in Ox\Rightarrow A(a;0),a>0; B\in Oy\Rightarrow B(0;b),b>0$.
Ta có phương trình $d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Mà $M(1;4)\in d$ nên $\frac1a+\frac4b=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $1=\frac1a+\frac4b\geq2\sqrt{\frac4{ab}}\Rightarrow ab\geq16$.
Diện tích tam giác $S_{OAB}=\frac12.OA.OB=\frac12.a.b\geq\frac12.16=8$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} \frac1a=\frac4b \\ \frac1a+\frac4b=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\Rightarrow A(2;0) \\ b=8\Rightarrow B(0;8) \end{array} \right.$.
Vậy tổng các hoành độ và tung độ của $A,B$ bằng $10$.
Ta có phương trình $d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Mà $M(1;4)\in d$ nên $\frac1a+\frac4b=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $1=\frac1a+\frac4b\geq2\sqrt{\frac4{ab}}\Rightarrow ab\geq16$.
Diện tích tam giác $S_{OAB}=\frac12.OA.OB=\frac12.a.b\geq\frac12.16=8$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} \frac1a=\frac4b \\ \frac1a+\frac4b=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\Rightarrow A(2;0) \\ b=8\Rightarrow B(0;8) \end{array} \right.$.
Vậy tổng các hoành độ và tung độ của $A,B$ bằng $10$.