Bài tự luận · Bài 32
Dạng 5. Ứng dụng
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 32
(KNTT11) Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ (ở đây $t$ là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hoá bởi hàm số $L(t)=12+2,83\sin\left( \frac{2\pi}{365}(t-80) \right), t\in \mathbb{Z}$ và $0 < t\leq 365.$
a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?
a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?
Xem lời giải
Lời giải
Vì $-1\leq \sin\left( \frac{2\pi}{365}(t-80) \right)\leq 1$ nên $-2,83\leq 2,83\sin\left( \frac{2\pi}{365}(t-80) \right)\leq 2,83$, do đó
$9,17=12-2,83\leq 12+2,83\sin\left( \frac{2\pi}{365}(t-80) \right)\leq 12+2,83=14,83\forall t\in \mathbb{R}.$
a) Ngày thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với
$\sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=-1\Leftrightarrow \frac{2\pi}{365}(t-80)=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=-\frac{45}{4}+365k(k\in \mathbb{Z}).$
Vì $0 < t\leq 365$ nên $k=1$, suy ra $t=-\frac{45}{4}+365=353,75$. Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố $A$ sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.
b) Ngày thành phố $A$ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với
$\sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=1\Leftrightarrow \frac{2\pi}{365}(t-80)=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=171,25+365k(k\in \mathbb{Z}).$
Vì $0 < t\leq 365$ nên $k=0$, suy ra $t=171,25$. Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố $A$ sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.
c) Thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu
$12+2,83\sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=10\Leftrightarrow \sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=-\frac{200}{283}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{2\pi}{365}(t-80)\approx -0,78+k2\pi \\ \frac{2\pi}{365}(t-80)\approx 3,93+k2\pi \end{array} \right.$
Từ đó ta được $\left[ \begin{array}{l} t\approx 34,69+365k \\ t\approx 308,30+365k \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. Vì $0 < t\leq 365$ nên $k=0$ suy ra $t\approx 34,69$ hoặc $t\approx 308,30$. Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố $A$ sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.
$9,17=12-2,83\leq 12+2,83\sin\left( \frac{2\pi}{365}(t-80) \right)\leq 12+2,83=14,83\forall t\in \mathbb{R}.$
a) Ngày thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với
$\sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=-1\Leftrightarrow \frac{2\pi}{365}(t-80)=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=-\frac{45}{4}+365k(k\in \mathbb{Z}).$
Vì $0 < t\leq 365$ nên $k=1$, suy ra $t=-\frac{45}{4}+365=353,75$. Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố $A$ sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.
b) Ngày thành phố $A$ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với
$\sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=1\Leftrightarrow \frac{2\pi}{365}(t-80)=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=171,25+365k(k\in \mathbb{Z}).$
Vì $0 < t\leq 365$ nên $k=0$, suy ra $t=171,25$. Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố $A$ sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.
c) Thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu
$12+2,83\sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=10\Leftrightarrow \sin\left[ \frac{2\pi}{365}(t-80) \right]=-\frac{200}{283}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{2\pi}{365}(t-80)\approx -0,78+k2\pi \\ \frac{2\pi}{365}(t-80)\approx 3,93+k2\pi \end{array} \right.$
Từ đó ta được $\left[ \begin{array}{l} t\approx 34,69+365k \\ t\approx 308,30+365k \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. Vì $0 < t\leq 365$ nên $k=0$ suy ra $t\approx 34,69$ hoặc $t\approx 308,30$. Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố $A$ sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.