Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 31
(KNTT11) Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước $2 m$ (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách $h$ (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm $A$ trên guồng đến mặt nước là $h=\left| y \right|$ trong đó $y=2+2,5\sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)$
với $x$ là thời gian quay của guồng $(x\geq 0)$, tính bằng phút; ta quy ước rằng $y>0$ khi gầu ở trên mặt nước và $y < 0$ khi gầu ở dưới mặt nước.
a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?
b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $-1\leq \sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)\leq 1$ nên $-2,5\leq 2,5\sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)\leq 2,5$ và do đó ta có
$-0,5=2-2,5\leq 2+2,5\sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)\leq 2+2,5=4,5\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=1\Leftrightarrow 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}+k(k\in \mathbb{Z}).$
Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\ldots$ phút.
Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi
$\sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=-1\Leftrightarrow 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=k(k\in \mathbb{Z}).$
Vậy gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm $0,1,2,3,\ldots$ phút.
b) Gầu cách mặt nước $2 m$ khi $2+2,5\sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=2$
$\Leftrightarrow \sin 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=0\Leftrightarrow 2\pi \left( x-\frac{1}{4} \right)=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}(k\in \mathbb{Z}).$
Vậy chiếc gầu cách mặt nước $2 m$ lần đầu tiên tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$ phút.
